Trilinjär polaritet

I euklidisk geometri är trilinjär polaritet en viss överensstämmelse mellan punkterna i en triangels plan som inte ligger på triangelns sidor och linjer i triangelns plan som inte passerar genom triangelns hörn . "Även om det kallas en polaritet, är det egentligen inte en polaritet alls, för poler av samtidiga linjer är inte kolinjära punkter ." Det var Jean-Victor Poncelet (1788–1867), en fransk ingenjör och matematiker, som introducerade idén om en punkts trilinjära polar 1865.

Definitioner

Konstruktion av en trilinjär polär av en punkt $P$

Given triangel

△ ABC

Cevian triangel

△ DEF

av

△ ABC

från

P

Cevian linjer som skär varandra vid

P

Konstruerad trilinjär polär (linje

XYZ

)

Låt $△ ABC$ vara en plan triangel och låt $P$ vara vilken punkt som helst i triangelns plan som inte ligger på triangelns sidor. Kortfattat är den trilinjära polen av $P$ perspektivaxeln för den cevian triangeln av $P$ och triangeln $△ ABC$ .

I detalj, låt linjen $AP, BP, CP$ möta sidlinjerna $BC, CA, AB$ vid $D, E, F$ respektive. Triangel $△ DEF$ är den cevianska triangeln av $P$ med hänvisning till triangeln $△ ABC$ . Låt linjeparen $(BC, EF), (CA, FD), (DE, AB)$ skära varandra vid $X, Y, Z$ respektive. Enligt Desargues sats är punkterna $X, Y, Z$ kolinjära . Kollinearitetslinjen är perspektivaxeln för triangeln $△ ABC$ och triangeln $△ DEF$ . Linjen $XYZ$ är den trilinjära polära punkten $P$ .

Punkterna $X, Y, Z$ kan också erhållas som harmoniska konjugat av $D, E, F$ med avseende på paren av punkterna $(B, C), (C, A), (A, B)$ . Poncelet använde denna idé för att definiera begreppet trilinjära polarer.

Om linjen $L$ är den trilinjära polen för punkten $P$ med avseende på referenstriangeln $△ ABC$ , kallas $P$ den trilinjära polen för linjen $L$ med avseende på referenstriangeln $△ ABC$ .

Trilinjär ekvation

Låt de trilinjära koordinaterna för punkten $P$ vara $p : q : r$ . Då är den trilinjära ekvationen för den trilinjära polären av $P$

{\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=0.

Konstruktion av den trilinjära stolpen

Konstruktion av en trilinjär pol av en linje $XYZ$

Givet trilinjär polär (linje

XYZ

)

Given triangel

△ ABC

Cevian triangel

△ UVW

av

△ ABC

från

XYZ

Ceviska linjer, som skär varandra vid den trilinjära polen

P

Låt linjen $L$ möta sidorna $BC, CA, AB$ i triangeln $△ ABC$ vid $X, Y, Z$ respektive. Låt radparen $(BY, CZ), (CZ, AX), (AX, BY)$ mötas vid $U, V, W$ . Trianglarna $△ ABC$ och $△ UVW$ är i perspektiv och låter $P$ vara centrum för perspektivet . $P$ är den trilinjära polen för linjen $L$ .

Några trilinjära polarer

Några av de trilinjära polarna är välkända.

Den trilinjära polaren för tyngdpunkten för triangeln $△ ABC$ är linjen i oändligheten .
Den trilinjära polen av symmedianpunkten är Lemoine-axeln för triangeln $△ ABC$ .
Ortocentrets trilinjära pol är ortosaxeln .
Trilinjära polärer är inte definierade för punkter som sammanfaller med hörnen på triangeln $△ ABC$ .

Stavar av pennor av linjer

Animation som illustrerar det faktum att platsen för de trilinjära polerna i en penna av linjer som passerar genom en fast punkt

K

är en cirkumkonisk av referenstriangeln.

Låt $P$ med trilinjära koordinater $X : Y : Z$ vara polen på en linje som går genom en fixpunkt $K$ med trilinjära koordinater $00 x : y : z 0$ . Linjens ekvation är

{\frac {x}{X}}+{\frac {y}{Y}}+{\frac {z}{Z}}=0.

Eftersom detta går genom $K$ ,

{\frac {x_{0}}{X}}+{\frac {y_{0}}{Y}}+{\frac {z_{0} }{Z}}=0.

är platsen för $P$

{\frac {x_{0}}{x}}+{\frac {y_{0}}{y}}+{\frac {z_{0} }{z}}=0.

Detta är en cirkumkonisk av referenstriangeln $△ ABC$ . Sålunda är platsen för polerna i en penna av linjer som passerar genom en fast punkt $K$ ett cirkumkoniskt $E$ för referenstriangeln.

Det kan visas att $K$ är perspektören för $E$ , nämligen där $△ ABC$ och den polära triangeln med avseende på $E$ är perspektiv. Den polära triangeln begränsas av tangenterna till $E$ vid hörnen på $△ ABC$ . Till exempel måste den trilinjära polaren för en punkt på den omslutna cirkeln passera genom sin perspektör, den symmedianska punkten X(6).

externa länkar

Geometrikon sida : Trilinjära polarer
Geometrikon sida : Isotomisk konjugat av en linje