Trachtenbergs system

Trachtenbergsystemet är ett system för snabb mental beräkning . Systemet består av ett antal lätt memorerade operationer som gör att man kan utföra aritmetiska beräkningar mycket snabbt. Den utvecklades av den ukrainske ingenjören Jakow Trachtenberg för att hålla sitt sinne sysselsatt när han var i ett nazistiskt koncentrationsläger .

Resten av den här artikeln presenterar några metoder utarbetade av Trachtenberg. Några av de algoritmer som Trachtenberg utvecklat är sådana för allmän multiplikation, division och addition. Trachtenberg-systemet inkluderar också några specialiserade metoder för att multiplicera små tal mellan 5 och 13 (men som visas här är 2–12).

Avsnittet om addition visar en effektiv metod för att kontrollera beräkningar som även kan användas för multiplikation .

Allmän multiplikation, Trachtenbergs matematikteori

Metoden för generell multiplikation är en metod för att uppnå multiplikationer $a\times b$ med låg rymdkomplexitet, dvs så få tillfälliga resultat som möjligt för att sparas i minnet. Detta uppnås genom att notera att den slutliga siffran bestäms helt genom att multiplicera den sista siffran i multiplikanterna . Detta hålls som ett tillfälligt resultat. För att hitta den näst sista siffran behöver vi allt som påverkar denna siffra: Det tillfälliga resultatet, den sista siffran i $a$ gånger den näst sista siffran i $b$ , samt näst sista siffran i $a$ gånger sista siffran i $b$ . Denna beräkning utförs och vi har ett tillfälligt resultat som är korrekt i de två sista siffrorna.

I allmänhet, för varje position $n$ i slutresultatet, summerar vi för alla $i$ :

$a{\text{ (siffra vid }}i{\text{ )}}\ gånger b{\text{ (siffra vid }}(ni){\text{)}}.$

Människor kan lära sig denna algoritm och på så sätt multiplicera fyrsiffriga tal i huvudet – bara skriva ner det slutliga resultatet. De skulle skriva ut det med början med siffran längst till höger och avsluta med den längst till vänster.

Trachtenberg definierade den här algoritmen med en sorts parvis multiplikation där två siffror multipliceras med en siffra, i princip bara med den mellersta siffran i resultatet. Genom att utföra ovanstående algoritm med denna parvisa multiplikation behöver ännu färre tillfälliga resultat hållas.

Exempel: $123456\times 789$

För att hitta den första (längst till höger) siffran i svaret, börja med den första siffran i multiplikanden:

Enhetssiffran $9\times 6\ is\ 4.$

Den första siffran i svaret är $4$ . Tiosiffran $5$ ignoreras.

Pekare för den första siffran

För att hitta den andra siffran i svaret, börja med den andra siffran i multiplikanden:

Enhetssiffran $9\times 5$ plus tiotalssiffran $9\times 6$ plus

Enhetssiffran $8\times 6$ .

$5+5+8=18$ .

Den andra siffran i svaret är $8$ och bär $1$ till den tredje siffran.

Pekare för den andra siffran

För att hitta den tredje siffran i svaret, börja med den tredje siffran i multiplikanden:

Enhetssiffran $9\times 4$ plus tiotalssiffran $9\times 5$ plus

Enhetssiffran $8\times 5$ plus tiotalet siffran $8\times 6$ plus

Enhetssiffran $7\times 6$

$1+6+4+ 0+4+2=17$

Den tredje siffran i svaret är $7$ och bär $1$ till nästa siffra.

Pekare för den tredje siffran

För att hitta den fjärde siffran i svaret, börja med den fjärde siffran i multiplikanden:

Enhetssiffran $9\times 3$ plus tiotalssiffran $9\times 4$ plus

Enhetssiffran $8\times 4$ plus tiotalet siffran $8\times 5$ plus

Enhetssiffran $7\times 5$ plus tiotalssiffran $7\times 6$ .

$1+7+3+2+4+5+4=26$ bärs från den tredje siffran.

Den fjärde siffran i svaret är $6$ och bär $2$ till nästa siffra.

Fortsätt med samma metod för att få de återstående siffrorna.

2 Finger metod

Trachtenberg kallade detta 2 Finger Method. Beräkningarna för att hitta den fjärde siffran från exemplet ovan illustreras till höger. Pilen från nio kommer alltid att peka på siffran i multiplikaden direkt ovanför siffran i svaret du vill hitta, med de andra pilarna vardera pekar en siffra åt höger. Varje pilhuvud pekar på ett UT-par eller produktpar. Den vertikala pilen pekar på produkten där vi kommer att få enhetssiffran, och den lutande pilen pekar på produkten där vi kommer att få tiotalssiffrorna i produktparet. Om en pil pekar på ett mellanslag utan siffra finns det ingen beräkning för den pilen. När du löser för varje siffra kommer du att flytta var och en av pilarna över multiplikatorn och en siffra till vänster tills alla pilar pekar på nollor.

Inställning för division

Division i Trachtenbergsystemet görs ungefär på samma sätt som i multiplikation men med subtraktion istället för addition. Att dela upp utdelningen i mindre partiella utdelningar och sedan dividera denna partiella utdelning med endast siffran längst till vänster i divisorn ger svaret en siffra i taget. När du löser varje siffra i svaret subtraherar du sedan produktpar (UT-par) och även NT-par (tal-tio) från den partiella utdelningen för att hitta nästa partiella utdelning. Produktparen finns mellan siffrorna i svaret hittills och divisorn. Om en subtraktion resulterar i ett negativt tal måste du säkerhetskopiera en siffra och minska den siffran i svaret med en. Med tillräckligt med övning kan denna metod göras i ditt huvud.

Allmänt tillägg

En metod för att lägga till kolumner med siffror och noggrant kontrollera resultatet utan att upprepa den första operationen. En mellansumma, i form av två rader med siffror, produceras. Svaret erhålls genom att ta summan av mellanresultaten med en L-formad algoritm. Som ett sista steg tar den kontrollmetod som förespråkas både bort risken för att eventuella ursprungliga fel upprepas och identifierar den exakta kolumn där ett fel uppstår på en gång. Den är baserad på checksummor (eller siffror), till exempel nioåterstodsmetoden.

För att proceduren ska vara effektiv måste de olika operationerna som används i varje steg hållas åtskilda, annars finns det risk för störningar.

Andra multiplikationsalgoritmer

När du utför någon av dessa multiplikationsalgoritmer bör följande "steg" tillämpas.

Svaret måste hittas en siffra i taget med början på den minst signifikanta siffran och flyttas åt vänster. Den sista beräkningen är på den inledande nollan av multiplikaden.

Varje siffra har en granne , dvs siffran till höger. Siffran längst till höger är den efterföljande nollan.

Operationen "halva" har en särskild betydelse för Trachtenbergsystemet. Det är avsett att betyda "halva siffran, avrundad nedåt" men av snabbhetsskäl uppmanas människor som följer Trachtenberg-systemet att göra denna halveringsprocessen omedelbar. Så istället för att tänka "halv sju är tre och en halv, så tre" föreslås det att man tänker "sju, tre". Detta påskyndar beräkningen avsevärt. På samma sätt ska tabellerna för att subtrahera siffror från 10 eller 9 memoreras.

Och när regeln kräver att man lägger till hälften av grannen, lägg alltid till 5 om den aktuella siffran är udda. Detta kompenserar för att tappa 0,5 i nästa siffras beräkning.

Siffror och siffror (bas 10)

Siffror och siffror är två olika begrepp. Talet T består av n siffror c _n ... c ₁ .

$T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}$

Multiplicera med 2

Bevis

${\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1}) \Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regel :

1. Multiplicera varje siffra med 2 (med bär).

Exempel: 8624 × 2

Arbeta från vänster till höger:

8+8=16,

6+6=12 (bär 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Exempel: 76892 × 2

Arbeta från vänster till höger:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 =153784

Multiplicera med 3

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Subtrahera siffran längst till höger från 10.
2. Subtrahera de återstående siffrorna från 9.
3. Dubbla resultatet.
4. Lägg till hälften av grannen till höger, plus 5 om siffran är udda.
5. För den inledande nollan, subtrahera 2 från hälften av grannen.

Exempel: 492 × 3 = 1476

Arbeta från höger till vänster:

(10 − 2) × 2 + Hälften av 0 (0) = 16. Skriv 6, bär 1.

(9 − 9) × 2 + Hälften av 2 (1) + 5 (eftersom 9 är udda) + 1 (bärs) = 7. Skriv 7.

(9 − 4) × 2 + Hälften av 9 (4) = 14. Skriv 4, bär 1.

Hälften av 4 (2) − 2 + 1 (buren) = 1. Skriv 1.

Multiplicera med 4

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\ R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{ n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ se bevis på metod 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n}) +(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+ \ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod { 2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2} }<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Subtrahera siffran längst till höger från 10.
2. Subtrahera de återstående siffrorna från 9.
3. Lägg till hälften av grannen plus 5 om siffran är udda.
4. För den ledande nollan, subtrahera 1 från hälften av grannen.

Exempel: 346 × 4 = 1384

Arbeta från höger till vänster:

(10 − 6) + Hälften av 0 (0) = 4. Skriv 4.

(9 − 4) + Hälften av 6 (3) = 8. Skriv 8.

(9 − 3) + Hälften av 4 (2) + 5 (eftersom 3 är udda) = 13. Skriv 3, bär 1.

Hälften av 3 (1) − 1 + 1 (buren) = 1. Skriv 1.

Multiplicera med 5

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{ 1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{ 0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{ \bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/ 2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\ &+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1 }*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(( c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text { div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div } }2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\ bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n }{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{ n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2 }*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text { div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2) }})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod { 2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2 }})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10 ^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{ n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0) )+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}< >0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{ \bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2} {\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0) \\\\&QED\end{aligned}}$

Regel :

1. Ta hälften av grannen, och om den aktuella siffran är udda, lägg till 5.

Exempel: 42×5=210

Hälften av 2:ans granne, den efterföljande nollan, är 0.

Hälften av 4ans granne är 1.

Hälften av den inledande nollans granne är 2.

43×5 = 215

Hälften av 3ans granne är 0, plus 5 eftersom 3 är udda, är 5.

Hälften av 4:ans granne är 1.

Hälften av den inledande nollans granne är 2.

93×5=465

Hälften av 3ans granne är 0, plus 5 eftersom 3 är udda, är 5.

Hälften av 9ans granne är 1, plus 5 eftersom 9 är udda, är 6.

Hälften av den inledande nollans granne är 4.

Multiplicera med 6

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6 *(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1 }*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{ n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n -1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2 +10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \ Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_ {n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n- 1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }} 2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*(( c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1} /2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_ {n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n -2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^ {n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+ {\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+ (c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\ \&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\ \\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Lägg till hälften av grannen till varje siffra. Om den aktuella siffran är udda, lägg till 5.

Exempel: 357 × 6 = 2142

Arbeta från höger till vänster:

7 har ingen granne, lägg till 5 (eftersom 7 är udda) = 12. Skriv 2, bär 1.

5 + hälften av 7 (3) + 5 (eftersom startsiffran 5 är udda) + 1 (bär) = 14. Skriv 4, bär 1.

3 + hälften av 5 (2) + 5 (eftersom 3 är udda) + 1 (buren) = 11. Skriv 1, bär 1.

0 + hälften av 3 (1) + 1 (buren) = 2. Skriv 2.

Multiplicera med 7

Bevis

${ \begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\ R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ se bevis på metod 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1) }{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2} *(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}< >0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if} }(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}< >0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Dubbla varje siffra.
2. Lägg till hälften av dess granne till höger (ta bort decimaler, om några). Enhetens granne är 0.
3. Om bassiffran är jämn lägg till 0 annars lägg till 5.
4. Lägg till eventuell överföring från föregående steg.

Exempel: 693 × 7 = 4 851

Arbeta från höger till vänster:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = överföring 1, resultat 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = överföring 2, resultat 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = överföring 1, resultat 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = resultat 4.

Multiplicera med 8

Bevis

${ \begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ se bevis på metod 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_ {n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*( (9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/ 2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2) *(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1} *(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Subtrahera siffran längst till höger från 10.
   1. Subtrahera de återstående siffrorna från 9.
2. Dubbla resultatet.
3. Lägg till grannen.
4. För den inledande nollan, subtrahera 2 från grannen.

Exempel: 456 × 8 = 3648

Arbeta från höger till vänster:

(10 − 6) × 2 + 0 = 8. Skriv 8.

(9 − 5) × 2 + 6 = 14, Skriv 4, bär 1.

(9 − 4) × 2 + 5 + 1 (buren) = 16. Skriv 6, bär 1.

4 − 2 + 1 (buren) = 3. Skriv 3.

Multiplicera med 9

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10 -1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1) +10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+ 10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ se bevis av metod 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^ {n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{ 0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Subtrahera siffran längst till höger från 10.
   1. Subtrahera de återstående siffrorna från 9.
2. Lägg till grannen till summan
3. För den inledande nollan, subtrahera 1 från grannen.

För reglerna 9, 8, 4 och 3 subtraheras endast den första siffran från 10. Därefter subtraheras varje siffra från nio istället.

Exempel: 2 130 × 9 = 19 170

Arbeta från höger till vänster:

(10 − 0) + 0 = 10. Skriv 0, bär 1.

(9 − 3) + 0 + 1 (buren) = 7. Skriv 7.

(9 − 1) + 3 = 11. Skriv 1, bär 1.

(9 − 2) + 1 + 1 (buren) = 9. Skriv 9.

2 − 1 = 1. Skriv 1.

Multiplicera med 10

Lägg till 0 (noll) som siffran längst till höger.

Bevis

${\displaystyle {\ start{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R& =10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Multiplicera med 11

Bevis

${\begin {aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}* c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n} +10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\ \\&QED\end{aligned}}$

Regel:

1. Lägg till siffran till dess granne. (Med "granne" menar vi siffran till höger.)

Exempel: $3,425\times 11=37,675$

(0 + 3) (3 + 4) (4 + 2) (2 + 5) (5 + 0)

3 7 6 7 5

Att illustrera:

11=10+1

Således,

$3425\times 11=3425\times (10+1)$

${\displaystyle \rightarrow 37675=3425}+3$

Multiplicera med 12

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Regel: att multiplicera med 12 : Börja från siffran längst till höger, dubbla varje siffra och lägg till grannen. ("Granne" är siffran till höger.)

Om svaret är större än en enstaka siffra, överför du helt enkelt den extra siffran (som blir en 1 eller 2) till nästa operation. Den återstående siffran är en siffra i slutresultatet.

Exempel: $316\times 12$

Bestäm grannar i multiplikanten 0316:

• siffran 6 har ingen rätt granne
• siffra 1 har granne 6
• siffra 3 har granne 1
• siffran 0 (prefixet nolla) har granne 3

${\begin{ aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&= 3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}$

Multiplicera med 13

Bevis

${\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}$

Publikationer

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Snabbt mentalt beräkningssystem som ett verktyg för algoritmiskt tänkande för grundskoleelevers utveckling . European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012 [1] .
• Trachtenberg Speed ​​System of Basic Mathematics av ​​Jakow Trachtenberg, A. Cutler (översättare), R. McShane (översättare), publicerades av Doubleday and Company, Inc. Garden City, New York 1960.

Boken innehåller specifika algebraiska förklaringar för var och en av ovanstående operationer.

Det mesta av informationen i den här artikeln kommer från originalboken.

Algoritmerna/operationerna för multiplikation etc. kan uttryckas på andra mer kompakta sätt som boken inte specificerar, trots kapitlet om algebraisk beskrivning.

I populärkulturen

Den amerikanska filmen Gifted från 2017 kretsar kring ett underbarn som vid 7 års ålder imponerar på sin lärare genom att göra beräkningar i hennes huvud med hjälp av Trachtenberg-systemet.

Andra system

Det finns många andra beräkningsmetoder inom mental matematik. Listan nedan visar några andra metoder för beräkning, även om de kanske inte är helt mentala.

• Bharati Krishna Tirthas bok "Vedic Mathematics "
• Mental kulram – När eleverna blir vana vid att manipulera kulramen med fingrarna, uppmanas de vanligtvis att göra beräkningar genom att visualisera kulramen i huvudet. Nästan alla skickliga abacus-användare är skickliga på att göra aritmetik mentalt.
• Chisanbop

Vidare läsning

• Trachtenberg, J. (1960). Trachtenbergs hastighetssystem för grundläggande matematik . Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу , 1967 (på ryska) .
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. " Rapid Mental Computation System as a Tool for Algorithmic Thinking of Elementary School Students Development ", European Researcher 25(7): 1105–1110, 2012.

externa länkar

• Chandrashekhar, Kiran. "[Lär dig allt om] matematiska genvägar", SapnaEdu.in på Wayback Machine (arkiverad 30 maj 2018)
• Gifted (2017 film) , Den här filmen handlar mer om Trachtenberg-systemet , med Mckenna Grace , en ung konstnär som har lärt sig denna teknik, som spelar huvudrollen.
• Vedic Mathematics Academy