Tom semigrupp

I matematik är en semigrupp utan element (den tomma semigruppen ) en semigrupp där den underliggande mängden är den tomma mängden . Många författare erkänner inte existensen av en sådan halvgrupp. För dem är en halvgrupp per definition en icke-tom uppsättning tillsammans med en associativ binär operation. Men inte alla författare insisterar på att den underliggande uppsättningen av en semigrupp inte är tom. Man kan logiskt definiera en halvgrupp där den underliggande mängden S är tom. Den binära operationen i semigruppen är den tomma funktionen från S × S till S . Denna operation på ett okomplicerat sätt stängnings- och associativitetsaxiomen för en halvgrupp. Att inte utesluta den tomma semigruppen förenklar vissa resultat på semigrupper. Till exempel blir resultatet att skärningen av två underhalvgrupper av en halvgrupp T är en undergrupp av T giltig även när skärningspunkten är tom.

När en halvgrupp definieras för att ha ytterligare struktur, kanske problemet inte uppstår. Till exempel kräver definitionen av en monoid ett identitetselement , vilket utesluter den tomma semigruppen som en monoid.

I kategoriteori är den tomma semigruppen alltid tillåten. Det är det unika initiala objektet i kategorin semigrupper.

En halvgrupp utan element är en omvänd halvgrupp , eftersom det nödvändiga villkoret är vacuously uppfyllt.

Se även