Halvgrupp med tre element

I abstrakt algebra är en halvgrupp med tre element ett objekt som består av tre element och en associativ operation definierad på dem. Grundexemplet skulle vara de tre heltalen 0, 1 och −1, tillsammans med multiplikationsoperationen. Multiplikation av heltal är associativ, och produkten av två av dessa tre heltal är återigen ett av dessa tre heltal.

Det finns 18 inekvivalenta sätt att definiera en associativ operation på tre element: medan det totalt finns totalt 3 9 = 19683 olika binära operationer som kan definieras, är endast 113 av dessa associativa, och många av dessa är isomorfa eller antiisomorfa så att det i huvudsak bara finns 18 möjligheter.

En av dessa är C 3 , den cykliska gruppen med tre element. De andra har alla en halvgrupp med två element som underhalvgrupper . I exemplet ovan innehåller mängden {−1,0,1} under multiplikation både {0,1} och {−1,1} som underhalvgrupper (den senare är en undergrupp , C 2 ) .

Sex av dessa är band , vilket betyder att alla tre elementen är idempotenta , så att produkten av något element med sig själv är sig själv igen. Två av dessa band är kommutativa , därför semilattices (ett av dem är den tre-element helt ordnade uppsättningen, och den andra är en tre-element semilatice som inte är ett gitter). De andra fyra kommer i antiisomorfa par.

Ett av dessa icke-kommutativa band är resultatet av att ett identitetselement ansluts till LO2 , den vänstra noll-semigruppen med två element (eller, dubbelt, till RO2 , den högra noll-semigruppen ). Det kallas ibland flip-flop-monoiden och hänvisar till flip-flop-kretsar som används i elektronik: de tre elementen kan beskrivas som "set", "återställ" och "gör ingenting". Denna halvgrupp förekommer i Krohn–Rhodes-nedbrytningen av ändliga halvgrupper. De irreducerbara elementen i denna sönderdelning är de ändliga enkla grupperna plus denna treelementhalvgrupp och dess underhalvgrupper.

Det finns två cykliska semigrupper , en beskrivs av ekvationen x 4 = x 3 , som har O 2 , noll- semigruppen med två element, som en under-semigrupp. Den andra beskrivs av x 4 = x 2 och har C 2 , gruppen med två element, som en undergrupp. (Ekvationen x 4 = x beskriver C 3 , gruppen med tre element, som redan nämnts.)

Det finns sju andra icke-cykliska non-band kommutativa semigrupper, inklusive det initiala exemplet på {−1, 0, 1} och O 3 , noll-semigruppen med tre element. Det finns också två andra antiisomorfa par av icke-kommutativa icke-bandsemigrupper.

Lista över semigrupper med tre element (upp till isomorfism) med Cayley-tabeller för semigruppoperationen

1. Cyklisk grupp ( C3 )

x y z
x   x    y    z 
y   y    z    x 
z   z    x    y 

2. Monogen halvgrupp (index 2, period 2)

x y z
x   y    z    y 
y   z    y    z 
z   y    z    y 

Underdelgrupp: {y,z} ≈ C 2

3. Aperiodisk monogen semigrupp (index 3)

x y z
x   y    z    z 
y   z    z    z 
z   z    z    z 

Underdelgrupp: {y,z} ≈ O 2

4. Kommutativ monoid ({−1,0,1} under multiplikation)

x y z
x   z    y    x 
y   y    y    y 
z   x    y    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ CH 2

5. Kommutativ monoid

x y z
x   z    x    x 
y   x    y    z 
z   x    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ CH 2

6. Kommutativ halvgrupp

x y z
x   z    x    x 
y   x    z    z 
z   x    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ C 2 . {y,z} ≈ O 2

7. Noll semigrupp (O 3 )

x y z
x   z    z    z 
y   z    z    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ {y,z} ≈ O 2

8. Kommutativ aperiodisk halvgrupp

x y z
x   z    z    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ O 2 . {y,z} ≈ CH 2

9. Kommutativ aperiodisk halvgrupp

x y z
x   z    y    z 
y   y    y    y 
z   z    y    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ O 2 . {y,z} ≈ CH 2

10. Kommutativ aperiodisk monoid

x y z
x   z    x    z 
y   x    y    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ O 2 . {y,z} ≈ CH 2

11A. aperiodisk halvgrupp

x y z
x   z    z    z 
y   y    y    y 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ LO 2

11B. dess motsats

x y z
x   z    y    z 
y   z    y    z 
z   z    y    z 

12A. aperiodisk halvgrupp

x y z
x   z    z    z 
y   x    y    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ CH 2

12B. det är motsatt

x y z
x   z    x    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

13. Semigitter ( kedja )

x y z
x   x    y    z 
y   y    y    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

14. Semigitter

x y z
x   x    z    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

15A. idempotent semigrupp

x y z
x   x    x    x 
y   y    y    y 
z   x    x    z 

Delsemigrupper: {x,y} ≈ LO 2 , {x, z} ≈ CH 2

15B. det är motsatt

x y z
x   x    y    x 
y   x    y    x 
z   x    y    z 

16A. idempotent semigrupp

x y z
x   x    x    z 
y   y    y    z 
z   z    z    z 

Underdelgrupper: {x,y} ≈ LO 2 , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

16B. det är motsatt

x y z
x   x    y    z 
y   x    y    z 
z   z    z    z 

17A. vänster noll semigrupp (LO 3 )

x y z
x   x    x    x 
y   y    y    y 
z   z    z    z 

Delsemigrupper: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ LO 2

17B. dess motsats (RO 3 )

x y z
x   x    y    z 
y   x    y    z 
z   x    y    z 

18A. idempotent semigrupp (vänster flip-flop monoid)

x y z
x   x    x    x 
y   y    y    y 
z   x    y    z 

Underdelgrupper: {x,y} ≈ LO 2 , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

18B. dess motsats (höger flip-flop monoid)

x y z
x   x    y    x 
y   x    y    y 
z   x    y    z 

Index för två elementunderhalvgrupper : C2 : cyklisk grupp, O2 : nollhalvgrupp, CH2 : halvgitter (kedja), LO2 / RO2 : vänster/höger nollhalvgrupp.

Se även

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Semigroup_with_three_elements&oldid=1119497859 "