Tidskonsistens (ekonomi)

Tidskonsistens i finansieringssammanhang är egenskapen att inte ha sinsemellan motstridiga utvärderingar av risk vid olika tidpunkter . Denna egenskap innebär att om investering A anses mer riskfylld än B vid någon framtida tidpunkt, kommer A också att anses vara mer riskfylld än B vid varje tidigare tillfälle.

Tidskonsekvens och finansiell risk

Tidskonsistens är en egenskap i finansiell risk relaterad till dynamiska riskmått . Syftet med tiden den konsekventa fastigheten är att kategorisera de riskmått som uppfyller villkoret att om portfölj (A) är mer riskfylld än portfölj (B) någon gång i framtiden, så är den garanterat mer riskfylld när som helst före den punkten. Detta är en viktig egenskap eftersom om den inte skulle hålla så finns det en händelse (med sannolikhet att inträffa större än 0) så att B är mer riskfylld än A vid tidpunkten t {\displaystyle t} även om det är säkert att A är $riskfyllt$ än B vid tidpunkten $t+1$ . Som namnet antyder kan ett tidsinkonsekvent riskmått leda till inkonsekvent beteende i finansiell riskhantering .

Matematisk definition

Ett dynamiskt riskmått $\left(\rho _{t}\right)_{t=0}^{T}$ på $L^{0 }({\mathcal {F}}_{T})$ är tidskonsekvent om $\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F }}_{T})$ och $t\in \{0,1,...,T-1\}:\rho _{t+1 }(X)\geq \rho _{t+1}(Y)$ innebär $\rho _{t}(X)\geq \rho _{t} (Y)$ .

Motsvarande definitioner

Likhet: För alla $t\in \{0,1,...,T -1\}:\rho _{t+1}(X)=\rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)=\rho _{t}(Y)$

Rekursiv: För alla $t\in \{0,1,...,T-1\}:\rho _{ t}(X)=\rho _{t}(-\rho _{t+1}(X))$

Acceptansuppsättning: för alla $t\in \{0,1,...,T-1\}:A_{t}=A_{t ,t+1}+A_{t+1}$ där $A_{t}$ är tiden $t$ acceptansuppsättning och ${\displaystyle A_{t,t+1}=A_{t}\cap L^{p}({\mathcal {F}}_{t+1})} Samcykeltillstånd (för$

konvexa riskmått ): För alla $t\in \{0,1,.. .,T-1\}:\alpha _{t}(Q)=\alpha _{t,t+1}(Q)+\mathbb {E} ^{Q}[\alpha _{t+1} (Q)\mid {\mathcal {F}}_{t}]$ där $\ alpha _{t}(Q)=\operatörsnamn {*} {esssup}_{X\in A_{t}}\mathbb {E} ^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{ t}]$ är den minimala strafffunktionen (där $A_{t}$ är en acceptansmängd och $\operatorname {*} {esssup}$ betecknar det väsentliga supremumet ) vid tiden $t$ och $\alpha _{t,t+1}(Q)=\operatörsnamn {*} {esssup}_{X\in A_{t,t+1}}\mathbb {E} ^{Q}[-X\mid {\ mathcal {F}}_{t}]$ .

Konstruktion

På grund av den rekursiva egenskapen är det enkelt att konstruera ett tidskonsekvent riskmått. Detta görs genom att komponera enperiodsmått över tid. Detta skulle innebära att:

$\rho _{T-1}^{com}:=\rho _{T-1}$
$\forall t<T-1:\rho _{t}^{com}:=\ rho _{t}(-\rho _{t+1}^{com})$

Exempel

Value at risk och medelvärde at risk

Både dynamiskt riskvärde och dynamiskt genomsnittligt riskvärde är inte tidskonsekventa riskmått.

Tidskonsekvent alternativ

Det tidskonsekventa alternativet till det dynamiska medelvärdet i riskzonen med parametern $\alpha _{t}$ vid tidpunkten t definieras av

\rho _{t}(X)={\text{ess}}\sup _{Q\in {\mathcal {Q}}}E^{Q}[-X|{\mathcal {Med}]

så att ${\mathcal {Q}}=\left\{Q\in {\mathcal {M}}_{1}:E\left[{\frac {dQ}{dP}}|{\ mathcal {F}}_{j}\right]\leq \alpha _{j-1}E\left[{\frac {dQ}{dP}}|{\mathcal {F}}_{j-1} \right]\forall j=1,...,T\right\}$ .

Dynamiskt supersäkringspris

Det dynamiska superhedgingpriset är ett tidskonsekvent riskmått.

Dynamisk entropisk risk

Det dynamiska entropiska riskmåttet är ett tidskonsekvent riskmått om riskaversionsparametern är konstant.

Kontinuerlig tid

I kontinuerlig tid kan ett tidskonsekvent koherent riskmått ges av:

:=\mathbb {E} ^{g}[-X]}

för ett sublinjärt val av funktion $g$ där $\mathbb {E} ^{g}$ betecknar en g-förväntning . Om funktionen $g$ är konvex , då är motsvarande riskmått konvext.