G-förväntning

I sannolikhetsteorin är g -förväntningen en icke-linjär förväntan baserad på en bakåt stokastisk differentialekvation (BSDE) som ursprungligen utvecklades av Shige Peng .

Definition

Givet ett sannolikhetsutrymme $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ med $(W_{t})_ {t\geq 0}$ är en ( d -dimensionell) wienerprocess (på det utrymmet). Givet filtreringen som genereras av $(W_{t})$ , dvs ${\mathcal {F}}_{t} =\sigma (W_{s}:s\in [0,t])$ , låt $X$ vara ${\mathcal {F}}_{T}$ mätbar . Tänk på BSDE som ges av:

${\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t}, Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}$

ges g-förväntningen för ${\displaystyle X} av$$\mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}$ . Observera att om $X$ är en m -dimensionell vektor så är $Y_{t}$ (för varje gång ${\displaystyle t} )$ en m -dimensionell vektor och $Z_{t}$ är en $m\times d$ -matris.

Faktum är att den villkorade förväntan ges av $\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:= Y_{t}$ och ungefär som den formella definitionen för villkorlig förväntan följer det att $\mathbb {E} ^{g [1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]$ för alla $A\in {\mathcal {F}}_{t}$ (och $1$ -funktionen är indikatorfunktionen ).

Existens och unikhet

Låt $g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\ gånger d}\to \mathbb {R} ^{m}$ uppfyller:

1. $g(\cdot ,y,z)$ är en ${\mathcal {F}}_{t}$ - anpassad process för varje $(y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}$
2. $\int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega , {\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )$ L2 -utrymmet (där $|\cdot |$ är en norm i $\mathbb {R} ^ {m}$ )
3. $g$ är Lipschitz kontinuerlig i $(y,z)$ , dvs för varje $y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}$ och $z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}$ följer att $|g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2 })|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)$ för någon konstant $C$

Sedan för valfri slumpvariabel $X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb { P} ;\mathbb {R} ^{m})$ det finns ett unikt par av ${\mathcal {F}}_{t}$ -anpassade processer $(Y ) ,Z)$ som uppfyller den stokastiska differentialekvationen.

I synnerhet, om $g$ dessutom uppfyller:

1. $g$ är kontinuerlig i tiden ( $t$ )
2. $g(t,y,0)\equiv 0$ för alla $(t,y)\in [0 ,T]\ gånger \mathbb {R} ^{m}$

sedan för den terminala slumpvariabeln $X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})$ det följer att lösningsprocesserna $(Y,Z)$ är kvadratintegrerbara. Därför ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]} är kvadratintegrerbar$ för alla tider $t$ .

Se även

• Förväntat värde
• Choquet förväntan
• Riskmått – nästan när som helst konsistent konvex riskmått kan skrivas som $\rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g} [-X]$