Dynamiskt riskmått

I finansiell matematik är ett villkorat riskmått en slumpmässig variabel av den finansiella risken (särskilt nedåtrisken ) som om den mättes någon gång i framtiden. Ett riskmått kan ses som ett villkorligt riskmått på den triviala sigmaalgebra .

Ett dynamiskt riskmått är ett riskmått som behandlar frågan om hur utvärderingar av risk vid olika tidpunkter hänger ihop. Det kan tolkas som en sekvens av villkorade riskåtgärder.

En annan metod för dynamisk riskmätning har föreslagits av Novak.

Villkorlig riskåtgärd

Betrakta en portföljs avkastning vid någon terminal tidpunkt $T$ som en slumpvariabel som är enhetligt begränsad , dvs. $X\in L^{\infty }\left({\ mathcal {F}}_{T}\right)$ anger utdelningen av en portfölj. En mappning ${\displaystyle \rho _{t}:L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{ T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)} är ett villkorligt riskmått om det$ har följande egenskaper för slumpmässig portföljavkastning $X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)$ :

Villkorlig kontantinvarians

${\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\infty }:\ ;\rho _{t}(X+m_{t})=\rho _{t}(X)-m_{t}} [$

Monotonicitet

$\mathrm {Om} \;X\leq Y\;\mathrm {då} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)$

Normalisering

${\displaystyle \rho _{t}(0)=0} [$

Om det är ett villkorligt konvex riskmått kommer det också att ha egenskapen:

Villkorlig

$_ \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t }(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)} [$

Ett villkorat koherent riskmått är ett villkorligt konvex riskmått som dessutom uppfyller:

Villkorlig positiv homogenitet

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0 :\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)} [$

Acceptans set

Huvudartikel: Acceptansuppsättning

Acceptansen inställd vid tidpunkten $t$ förknippad med ett villkorligt riskmått är

$A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho _{t}(X) \leq 0{\text{ as}}\}$ .

Om du får en acceptansinställning vid tidpunkten $t$ är motsvarande villkorade riskmått

$\rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\ infty }:X+Y\in A_{t}\}$

där ${\text{ess}}\inf$ är det väsentliga infimumet .

Vanlig egendom

Ett villkorligt riskmått $\rho _{t}$ sägs vara regelbundet om för någon $X\in L_{T}^{\infty }$ och $A\in {\mathcal {F}}_{t}$ sedan $\rho _{t}(1_{A}X) =1_{A}\rho _{t}(X)$ där $1_{A}$ är indikatorfunktionen på $A$ . Alla normaliserade villkorade konvexa riskmått är regelbundna.

Den finansiella tolkningen av detta säger att den villkorade risken vid någon framtida nod (dvs. ${\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]} )$ endast beror på de möjliga tillstånden från det nod. I en binomial modell skulle detta vara besläktat med att beräkna risken för att underträdet förgrenar sig från punkten i fråga.

Tidskonsekvent egendom

Huvudartikel: Tidskonsistens

Ett dynamiskt riskmått är tidskonsistent om och endast om ${\ displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\ forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$ .

Exempel: dynamiskt supersäkringspris

Det dynamiska supersäkringspriset innefattar villkorade riskmått av formen $\rho _{t}(-X)=\operatörsnamn {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal { F}}_{t}]$ . Det har visat sig att detta är ett tidskonsekvent riskmått.