Tarskis cirkelkvadrerande problem

Tarskis cirkelkvadrerande problem är utmaningen, som Alfred Tarski ställde 1925, att ta en skiva i planet, skära den i ändligt många bitar och sätta ihop bitarna igen för att få en kvadrat med lika stor yta . Detta bevisades vara möjligt av Miklós Laczkovich 1990; nedbrytningen använder sig kraftigt av valets axiom och är därför icke-konstruktiv . Laczkovich uppskattade antalet bitar i sin nedbrytning till ungefär 10 50 . En konstruktiv lösning gavs av Łukasz Grabowski, András Máthé och Oleg Pikhurko 2016 som fungerade överallt förutom en uppsättning mått noll. På senare tid gav Andrew Marks och Spencer Unger ( 2017 ) en helt konstruktiv lösning med cirka Borel-bitar . År 2021 förbättrade Máthé, Noel och Pikhurko bitarnas egenskaper.

I synnerhet Lester Dubins , Morris W. Hirsch och Jack Karush visade att det är omöjligt att dissekera en cirkel och göra en kvadrat med hjälp av bitar som kunde klippas med en idealiserad sax (det vill säga med en Jordan- kurvgräns). Delarna som används i Laczkovichs bevis är icke-mätbara delmängder .

Laczkovich bevisade faktiskt att återmonteringen endast kan göras med hjälp av översättningar ; rotationer krävs inte. Längs vägen bevisade han också att vilken enkel polygon som helst i planet kan dekomponeras i ändligt många bitar och sättas ihop igen med hjälp av översättningar endast för att bilda en kvadrat med lika stor yta. Bolyai –Gerwien-satsen är ett relaterat men mycket enklare resultat: den säger att man kan åstadkomma en sådan nedbrytning av en enkel polygon med ändligt många polygonala delar om både translationer och rotationer tillåts för återmonteringen.

Det följer av ett resultat av Wilson (2005) att det är möjligt att välja bitarna på ett sådant sätt att de kan flyttas kontinuerligt samtidigt som de förblir osammanhängande för att ge kvadraten. Dessutom kan detta starkare uttalande bevisas också att det uppnås endast med hjälp av översättningar.

Dessa resultat bör jämföras med de mycket mer paradoxala nedbrytningarna i tre dimensioner som Banach-Tarski-paradoxen tillhandahåller ; dessa nedbrytningar kan till och med ändra volymen på en uppsättning. Men i planet måste en sönderdelning i ändligt många bitar bevara summan av bitarnas Banachmått och kan därför inte ändra den totala arean av en uppsättning ( Wagon 1993 ).

Se även

  • Att kvadrera cirkeln , ett annat problem: uppgiften (som har visat sig vara omöjlig) att konstruera, för en given cirkel, en kvadrat med lika stor yta med enbart rätsida och kompass .
Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tarski%27s_circle-squaring_problem&oldid=1125395811 "