Wallace–Bolyai–Gerwiens sats

Genom Wallace–Bolyai–Gerwiens sats kan en kvadrat skäras i delar och omordnas till en triangel med lika stor yta.

Inom geometri är Wallace –Bolyai–Gerwiens sats , uppkallad efter William Wallace , Farkas Bolyai och P. Gerwien, en sats relaterad till dissektioner av polygoner . Det svarar på frågan när en polygon kan bildas från en annan genom att skära den i ett ändligt antal bitar och komponera om dessa genom översättningar och rotationer . Wallace–Bolyai–Gerwiens sats säger att detta kan göras om och endast om två polygoner har samma area .

Wallace hade bevisat samma resultat redan 1807.

Enligt andra källor hade Bolyai och Gerwien oberoende bevisat satsen 1833 respektive 1835.

Formulering

Det finns flera sätt på vilka denna sats kan formuleras. Den vanligaste versionen använder begreppet "equidecomposability" av polygoner: två polygoner är equidecomposable om de kan delas upp i ändligt många trianglar som bara skiljer sig åt genom viss isometri (i själva verket bara genom en kombination av en translation och en rotation). I det här fallet säger Wallace–Bolyai–Gerwiens sats att två polygoner är likvärdiga om och bara om de har samma area.

En annan formulering är i termer av saxkongruens : två polygoner är saxkongruenta om de kan delas upp i ändligt många polygoner som är parvis kongruenta . Sax-kongruens är en ekvivalensrelation . I detta fall säger Wallace–Bolyai–Gerwiens sats att ekvivalensklasserna för denna relation innehåller just de polygoner som har samma area.

Bevisskiss

Teoremet kan förstås i några steg. För det första kan varje polygon skäras till trianglar. Det finns några metoder för detta. För konvexa polygoner kan man skära av varje vertex i tur och ordning, medan det för konkava polygoner kräver mer försiktighet. Ett allmänt tillvägagångssätt som också fungerar för icke-enkla polygoner skulle vara att välja en linje som inte är parallell med någon av polygonens sidor och dra en linje parallell med denna genom var och en av polygonens hörn. Detta kommer att dela upp polygonen i trianglar och trapetser , som i sin tur kan omvandlas till trianglar.

För det andra kan var och en av dessa trianglar omvandlas till en rätvinklig triangel och därefter till en rektangel med en sida av längden 1. Alternativt kan en triangel omvandlas till en sådan rektangel genom att först omvandla den till ett parallellogram och sedan göra denna till en sådan rektangel. rektangel. Genom att göra detta för varje triangel kan polygonen delas upp i en rektangel med enhetsbredd och höjd lika med dess area.

Eftersom detta kan göras för vilka två polygoner som helst, bevisar en "vanlig underavdelning" av rektangeln däremellan satsen. Det vill säga att skära av den gemensamma rektangeln (med storlek 1 med dess area) enligt båda polygonerna kommer att vara en mellanliggande mellan båda polygonerna.

Anteckningar om beviset

Först och främst kräver detta bevis en mellanpolygon. I formuleringen av satsen med hjälp av saxkongruens kan användningen av denna intermediär omformuleras genom att använda det faktum att saxkongruenser är transitiva. Eftersom både den första polygonen och den andra polygonen är saxkongruenta med den mellanliggande, är de saxkongruenta med varandra.

Beviset för detta teorem är konstruktivt och kräver inte valets axiom , även om vissa andra dissektionsproblem (t.ex. Tarskis cirkelkvadreringsproblem) behöver det. I det här fallet kan sönderdelningen och återmonteringen faktiskt utföras "fysiskt": bitarna kan i teorin skäras med sax från papper och återmonteras för hand.

Icke desto mindre överstiger antalet bitar som krävs för att komponera en polygon från en annan med denna procedur i allmänhet långt det minsta antal polygoner som behövs.

Grad av nedbrytbarhet

Betrakta två polygoner P och Q med lika sammansättning . Det minsta antalet n bitar som krävs för att komponera en polygon Q från en annan polygon P betecknas med σ( P , Q ).

Beroende på polygonerna är det möjligt att uppskatta övre och nedre gränser för σ( P , Q ). Till exempel, Alfred Tarski bevisade att om P är konvex och diametrarna för P respektive Q ges av d( P ) och d( Q ), då

$\sigma (P,Q)\geq {\frac {d(P)}{d(Q)}}.$

     Om P _x är en rektangel av sidorna a · x och a · (1/ x ) och Q är en rektangel med storleken a , så är P _x och Q likvärdiga sammansättningsbara för varje x > 0. En övre gräns för σ( P _x , Q ) ges av

$\sigma (P_{x},Q)\leq 2+\left\lceil {\sqrt {x^{ 2}-1}}\right\rceil ,\quad {\text{för }}x\geq 1.$

Eftersom σ( P _x , Q ) = σ( P _{(1/ x )} , Q ), har vi också det

$\sigma \left(P_{\frac {1}{x}},Q\right)\leq 2+\left\lceil {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right\rceil ,\quad {\text{för }}x\leq 1.$

Generaliseringar

Det analoga uttalandet om polyedrar i tre dimensioner, känt som Hilberts tredje problem , är falskt, vilket bevisades av Max Dehn 1900. Problemet har också beaktats i vissa icke-euklidiska geometrier . I tvådimensionell hyperbolisk och sfärisk geometri gäller satsen. Problemet är dock fortfarande öppet för dessa geometrier i tre dimensioner.

externa länkar

• Wallace–Bolyai–Gerwiens sats
• Scissors Congruence - En interaktiv demonstration av Wallace–Bolyai–Gerwiens sats.
• Video som visar en skiss av beviset
• Ett exempel på Bolyai-Gerwien-satsen av Sándor Kabai, Ferenc Holló Szabó och Lajos Szilassi , Wolfram- demonstrationsprojektet .
• En presentation om Hilberts tredje problem på College of Staten Island CUNY - Abhijit Champanerkar.
• Optimal dissektion av en enhetskvadrat i en rektangel