Paradoxalt set

Banach -Tarski-paradoxen är att en boll kan sönderdelas till ett ändligt antal poänguppsättningar och sättas ihop till två bollar identiska med originalet.

I mängdlära är en paradoxal mängd en mängd som har en paradoxal nedbrytning . En paradoxal nedbrytning av en uppsättning är två familjer av disjunkta delmängder, tillsammans med lämpliga gruppåtgärder som verkar på något universum (av vilket uppsättningen i fråga är en delmängd), så att varje partition kan mappas tillbaka till hela uppsättningen med endast ändligt många distinkta funktioner (eller sammansättningar därav) för att utföra kartläggningen. En uppsättning som tillåter en sådan paradoxal nedbrytning där åtgärderna tillhör en grupp $G$ kallas $G$ -paradoxal eller paradoxal med avseende på $G$ .

Paradoxala uppsättningar existerar som en konsekvens av Oändlighetens axiom . Att tillåta oändliga klasser som mängder är tillräckligt för att tillåta paradoxala mängder.

Definition

Antag att en grupp $G$ verkar på en mängd $A$ . Då är $A$$G$ -paradoxal om det finns några disjunkta delmängder $A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A$ och några gruppelement $g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\in G$ så att:

$A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})$ och $A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})$

Exempel

Gratis grupp

Den fria gruppen F på två generatorer a,b har nedbrytningen ${\displaystyle F=\{e \}\cup X(a)\cup X(a^{-1})\cup X(b)\cup X(b^{-1})} där e är$ identitetsordet och X $\ displaystyle X(i)}$ är samlingen av alla (reducerade) ord som börjar med bokstaven i . Detta $X(a)\cup aX(a^{-1})=F=X(b)\cup bX(b^{-1}).$ eftersom

Banach-Tarski paradox

Huvudartikel: Banach–Tarski-paradox

Det mest kända exemplet på paradoxala uppsättningar är Banach–Tarski-paradoxen , som delar upp sfären i paradoxala uppsättningar för den speciella ortogonala gruppen . Detta resultat beror på valets axiom .

Se även

• Patologisk (matematik)