Tangent utvecklingsbar

Tangenten som kan utvecklas av en helix

I den matematiska studien av ytornas differentialgeometri är en tangentframkallningsbar en speciell typ av framkallningsbar yta som erhålls från en kurva i det euklidiska rymden när ytan svepas ut av tangentlinjerna till kurvan. En sådan yta är också enveloppen för tangentplanen till kurvan.

Parametrisering

Låt $\gamma (t)$ vara en parameterisering av en jämn rymdkurva. Det vill säga, $\gamma$ är en två gånger differentierbar funktion med ingenstans-försvinnande derivata som mappar dess argument $t$ (ett reellt tal ) till en punkt i rymden; kurvan är bilden av $\gamma$ . Sedan kan en tvådimensionell yta, den tangent som kan utvecklas för $\gamma$ , parametriseras av kartan

$(s,t)\mapsto \gamma (t)+s\gamma {\,'}(t).$

Den ursprungliga kurvan bildar en gräns för tangentens framkallningsbara och kallas dess riktlinje eller regressionskant. Denna kurva erhålls genom att först utveckla ytan till planet och sedan överväga bilden i planet för generatorerna av härskaren på ytan. Enveloppen för denna linjefamilj är en plan kurva vars omvända bild under framkallningen är kanten av regression. Intuitivt är det en kurva längs vilken ytan måste vikas under processen att utvecklas till planet.

Egenskaper

Tangent framkallningsbar av en kurva med noll vridning.

Den tangentframkallbara är en framkallbar yta ; det vill säga det är en yta med noll Gaussisk krökning . Det är en av tre grundläggande typer av framkallningsbar yta; de andra två är de generaliserade konerna (ytan spåras ut av en endimensionell familj av linjer genom en fast punkt), och cylindrarna (ytor spåras ut av en endimensionell familj av parallella linjer ) . ( Planet anges ibland som en fjärde typ, eller kan ses som ett specialfall av någon av dessa två typer.) Varje framkallningsbar yta i tredimensionellt utrymme kan bildas genom att limma samman delar av dessa tre typer; det följer av detta att varje framkallningsbar yta är en reglerad yta , en förening av en endimensionell familj av linjer. Emellertid är inte varje härdad yta framkallningsbar; helikoiden ger ett motexempel .

Tangenten som kan utvecklas för en kurva som innehåller en nolltorsionspunkt kommer att innehålla en självskärning.

Historia

Tangentframkallbara ämnen studerades först av Leonhard Euler 1772. Fram till den tiden var de enda kända framkallningsbara ytorna de generaliserade konerna och cylindrarna. Euler visade att tangentframkallbara material är framkallbara och att varje framkallningsbar yta är av en av dessa typer.

Anteckningar

• Struik, Dirk Jan (1961), Lectures on Classical Differential Geometry , Addison-Wesley .
•   Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Utvecklabar yta" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Edge of regression" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Tangent Developable" . MathWorld .