Tangent kon

Inom geometri är tangentkonen en generalisering av begreppet tangentutrymmet till ett grenrör till fallet med vissa utrymmen med singulariteter .

Definitioner i olinjär analys

analys finns det många definitioner för en tangentkon, inklusive den intilliggande konen, Bouligands kontingentkon och Clarke tangentkonen . Dessa tre koner sammanfaller för en konvex uppsättning, men de kan skilja sig åt på mer allmänna uppsättningar.

Clarke tangentkon

Låt $A$ vara en icke-tom sluten delmängd av Banach-utrymmet $X$ . Clarkes tangentkon till $A$ vid $x_{0}\in A$ , betecknad med ${\widehat {T}}_{A}( x_{0})$ består av alla vektorer $v\in X$ , så att för vilken sekvens som helst $\{t_{n}\}_{n \geq 1}\subset \mathbb {R}$ tenderar mot noll, och vilken sekvens som helst $\{x_{n}\}_{n\geq 1}\subset A$ tenderar till $x_{0}$ , det finns en sekvens ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\geq 1}\subset X} som$ tenderar att $v$ , så att för alla $n\geq 1$ innehåller $x_{n}+t_{n}v_{n}\in A$

Clarkes tangentkon är alltid delmängd av motsvarande kontingentkon (och sammanfaller med den, när mängden i fråga är konvex). Den har den viktiga egenskapen att vara en sluten konvex kon.

Definition i konvex geometri

Låt K vara en sluten konvex delmängd av ett reellt vektorrum V och ∂ K vara gränsen för K . Den solida tangentkonen till K i en punkt x ∈ ∂ K är stängningen av könen som bildas av alla halvlinjer (eller strålar) som utgår från x och skär K i åtminstone en punkt y skild från x . Det är en konvex kon i V och kan också definieras som skärningspunkten mellan de slutna halvrummen av V som innehåller K och avgränsas av de stödjande hyperplanen av K vid x . Gränsen T _K för den solida tangentkonen är tangentkonen till K och ∂ K vid x . Om detta är ett affint delrum av V så kallas punkten x en jämn punkt av ∂ K och ∂ K sägs vara differentierbar vid x och T _K är det ordinarie tangentrymden till ∂ K vid x .

Definition i algebraisk geometri

y ² = x ³ + x ² (röd) med tangentkon (blå)

Låt X vara en affin algebraisk variant inbäddad i det affina rummet $k^{n}$ , med definition av ideal $I\delmängd k[x_{1 },\ldots ,x_{n}]$ . För alla polynom f , låt $\operatorname {in} (f)$ vara den homogena komponenten av f av den lägsta graden, den initiala termen av f , och låt

\operatörsnamn {i} (I)\delmängd k[x_{1},\ldots ,x_{n}]

vara det homogena idealet som bildas av initialtermerna $\displaystyle \operatorname {in} (f)}$ { för alla $f\in I$ , initialidealet för I . Tangentkonen till X vid origo är Zariskis slutna delmängd av $k^{n}$ definierad av idealet ${\displaystyle \operatorname {in} (I)$ } . Genom att flytta koordinatsystemet sträcker sig denna definition till en godtycklig punkt av $k^{n}$ i stället för origo. Tangentkonen fungerar som en förlängning av begreppet tangentutrymme till X vid en regelbunden punkt, där X närmast liknar ett differentierbart grenrör , till alla X . (Tangenskonen vid en punkt av $k^{n}$ som inte finns i X är tom.)

Till exempel nodalkurvan

C:y^{2}=x^{3}+x^{2}

är singular vid ursprunget, eftersom båda partiella derivator av f ( x , y ) = y ² − x ³ − x ² försvinner vid (0, 0). Således Zariski tangentrymden till C vid origo hela planet och har högre dimension än själva kurvan (två mot en). Å andra sidan är tangentkonen föreningen av tangentlinjerna till de två grenarna av C vid origo,

x=y,\quad x=-y.

Dess definierande ideal är det huvudsakliga idealet för k [ x ] som genereras av den initiala termen f , nämligen y ² − x ² = 0.

Definitionen av tangentkonen kan utvidgas till abstrakta algebraiska varianter och till och med till allmänna Noetheriska scheman . Låt X vara en algebraisk variant , x en punkt på X , och ( O _{X , x} , m ) vara den lokala ringen av X vid x . Då är tangentkonen till X vid x spektrumet för den tillhörande graderade ringen av O _{X , x} med avseende på m -adisk filtrering :