Paratingent kon

introducerades den paratingenta konen och kontingentkonen av Bouligand ( 1932 ), och är nära besläktade med tangentkoner .

Definition

Låt $S$ vara en icke-tom delmängd av ett reellt normerat vektorrum $(X,\|\cdot \|)$ .

1. Låt några ${\bar {x}}\in \operatorname {cl} (S)$ vara en punkt i stängningen av $S$ . Ett element $h\in X$ kallas en tangent (eller tangentvektor ) till $S$ vid ${\bar {x}}$ , om det finns en sekvens $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ av element $x_{n}\in S$ och en sekvens $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ av positiva reella tal $\lambda _{n}>0$ så att ${\bar {x}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ och $h=\lim _{n\to \infty }\lambda _{n}(x_{n}-{\bar {x}}).$
2. Mängden $T(S,{\bar {x}})$ av alla tangenter till $S$ vid ${\bar {x}}$ är kallas kontingentkonen (eller bouligandtangenskonen ) till $S$ vid ${\bar {x}}$ .

En likvärdig definition ges i termer av en avståndsfunktion och gränsinfimum. Som tidigare, låt $(X,\|\cdot \|)$ vara ett normerat vektorrum och ta någon icke-tom uppsättning $S\subset X$ . För varje $x\in X$ , låt avståndsfunktionen till $S$ vara

$d_{S}(x):=\inf\{\|xx'\|\mid x'\in S\}.$

Därefter definieras kontingentkonen till $S\subset X$ vid ${\displaystyle x\in \operatörsnamn {cl} (S)} av$

$T_{S}(x):=\left\{v:\liminf _{h\to 0^{+}}{\frac {d_{S}(x+hv)}{h}}= 0\höger\}.$