Zariski tangentrymd

Inom algebraisk geometri är Zariski- tangensutrymmet en konstruktion som definierar ett tangentutrymme vid en punkt P på en algebraisk variant V (och mer allmänt). Den använder inte differentialkalkyl , som är direkt baserad på abstrakt algebra , och i de mest konkreta fallen bara teorin om ett system av linjära ekvationer .

Motivering

Antag till exempel att en plan kurva C definieras av en polynomekvation

F ( X,Y ) = 0

och ta P för att vara ursprunget (0,0). Att radera termer av högre ordning än 1 skulle ge en "linjäriserad" ekvationsläsning

L ( X,Y ) = 0

där alla termer X ^a Y ^b har förkastats om a + b > 1 .

Vi har två fall: L kan vara 0, eller det kan vara ekvationen för en linje. I det första fallet är (Zariski) tangentrymden till C vid (0,0) hela planet, betraktat som ett tvådimensionellt affint utrymme . I det andra fallet är tangentrymden den linjen, betraktad som affint utrymme. (Frågan om ursprunget kommer upp när vi tar P som en allmän punkt på C ; det är bättre att säga 'affin rymd' och sedan notera att P är ett naturligt ursprung, snarare än att direkt insistera på att det är ett vektorrum . )

Det är lätt att se att vi över det reella fältet kan erhålla L i termer av de första partiella derivatorna av F . När de båda är 0 vid P , har vi en singular punkt ( dubbelpunkt , cusp eller något mer komplicerat). Den allmänna definitionen är att singulära punkter i C är de fall då tangentrymden har dimension 2.

Definition

Det cotangensutrymme för en lokal ring R , med maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ definieras som

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

där ${\mathfrak {m}}$ ² ges av produkten av ideal . Det är ett vektorrum över restfältet k:= R/ ${\mathfrak {m}}$ . Dess dubbla (som ett k -vektorrum) kallas tangentrymd av R .

Den här definitionen är en generalisering av exemplet ovan till högre dimensioner: antag att en affin algebraisk variant V och en punkt v av V ges . Moraliskt sett motsvarar att modifiera ${\mathfrak {m}}$ ² att de icke-linjära termerna tas bort från ekvationerna som definierar V inuti något affint rum, vilket ger ett system av linjära ekvationer som definierar tangentrymden.

Tangentrymden $\displaystyle T_{P}(X)}$ $T_{P}^{*}(X)$ och cotangens utrymme ett schema X i en punkt P är (sam)tangensrummet för ${\mathcal {O}}_{X,P}$ . På grund av funktionaliteten hos Spec inducerar den naturliga kvotmappen $f:R\rightarrow R/I$ en homomorfism ${ \displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}} för X =$ Spec ( R ) , P en punkt i Y =Spec( R/I ). Detta används för att bädda in $T_{P}(Y)$ i $T_{f^{-1}P}(X)$ . Eftersom morfismer av fält är injektiva, är surjektion av restfälten inducerad av g en isomorfism. Sedan induceras en morfism k av de kotangenta utrymmena av g , givet av

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{ f^{-1}P}^{2}+I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{ f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker} (k).

Eftersom detta är en surjektion, transponerar k $\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\högerpil T_{f^{-1 }P}(X)}$ är en injektion.

(Man definierar ofta tangent- och kotangensutrymmena för ett grenrör på analogt sätt.)

Analytiska funktioner

Om V är en undervarietet av ett n -dimensionellt vektorrum, definierat av ett idealt Fn _I , då är R = Fn _/ I , där är ringen av jämna/analytiska/holomorfa funktioner på detta vektorrum. Zariski tangentrymden vid x är

m _n / ( I+m _n² ) ,

där m _n är det maximala idealet som består av de funktioner i F _n som försvinner vid x .

I det plana exemplet ovan är I = ( F ( X,Y )) och I+m2 ⁼ ( L ( X ,Y )) + ^m2 .

Egenskaper

Om R är en noeterisk lokal ring, är dimensionen på tangentrymden åtminstone dimensionen av R :

dim m/m ² ≧ dim R

R kallas regelbundet om jämlikhet gäller. I ett mer geometriskt språkbruk, när R är den lokala ringen av en sort V i en punkt v , säger man också att v är en regelbunden punkt. Annars kallas det en singular punkt .

Tangentrummet har en tolkning i termer av K [ t ] / ( t ² ), de dubbla talen för K ; i schemats språkbruk motsvarar morfismer från Spec K [ t ] / ( t ² ) till ett schema X över K ett val av en rationell punkt x ∈ X(k) och ett element av tangentrymden vid x . Därför talar man också om tangentvektorer . Se även: tangentrymd till en funktor .

I allmänhet kan dimensionen av Zariski-tangensutrymmet vara extremt stort. Låt till exempel $C^{1}(\mathbf {R} )$ vara ringen av kontinuerligt differentierbara verkliga funktioner på $\mathbf {R}$ . Definiera $R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )$ för att vara ringen av bakterier för sådana funktioner vid ursprunget. Då R en lokal ring, och dess maximala ideal m består av alla bakterier som försvinner vid ursprunget. Funktionerna $x^{\alpha }$ för $\alpha \in (1,2)$ definierar linjärt oberoende vektorer i Zariski cotangensrymden ${\ displaystyle m/m^{2}}$ , så dimensionen av $m/m^{2}$ är åtminstone ${\mathfrak {c}}$ , kardinaliteten av kontinuum. Dimensionen för Zariski-tangensrummet $(m/m^{2})^{*}$ är därför minst $2^{\mathfrak {c}}$ . Å andra sidan har ringen av släta bakterier vid en punkt i ett n -grenrör ett n -dimensionellt Zariski-kotangensutrymme.