System av imprimitivitet

Begreppet imprimitivitetssystem används i matematik , särskilt i algebra och analys , båda inom ramen för teorin om grupprepresentationer . Det användes av George Mackey som grund för hans teori om inducerade enhetliga representationer av lokalt kompakta grupper .

Det enklaste fallet, och det sammanhang där idén först uppmärksammades, är ändliga grupper (se primitiv permutationsgrupp ) . Betrakta en grupp G och undergrupperna H och K , där K ingår i H . Sedan är de vänstra medsatserna av H i G var och en föreningen av vänstra kosatser av K . Inte bara det, utan translation (på ena sidan) av något element g av G respekterar denna nedbrytning. Sambandet med inducerade representationer är att permutationsrepresentationen på cosets är specialfallet av inducerad representation, där en representation induceras från en trivial representation . Strukturen, kombinatorisk i det här fallet, respekterad av translation visar att antingen K en maximal undergrupp av G eller så finns det ett system av imprimitivitet (ungefär en brist på fullständig "blandning"). För att generalisera detta till andra fall återuttrycks begreppet: först i termer av funktioner på G- konstanten på K -cosets, och sedan i termer av projektionsoperatorer (till exempel medelvärdet över K -cosets av element i gruppen algebra ).

Mackey använde också idén för sin förklaring av kvantiseringsteori baserad på bevarande av relativitetsgrupper som agerar på konfigurationsutrymme . Detta generaliserade verk av Eugene Wigner och andra och anses ofta vara en av de banbrytande idéerna inom kanonisk kvantisering .

Exempel

För att motivera de allmänna definitionerna formuleras först en definition, när det gäller ändliga grupper och deras representationer på ändliga dimensionella vektorrum .

Om G är en finit grupp och U en representation av G på ett ändligt dimensionellt komplext vektorrum H . Verkan av G på element i H inducerar en verkan av G på vektordelrummen W av H på detta sätt:

$U_{g}W=\{U_{g}w:w\in W\}.$

Om X är en uppsättning delrum till H så att

• elementen i X permuteras av verkan av G på delrum och
• H är den (interna) algebraiska direkta summan av elementen i X , dvs.

$H=\bigoplus _{W\in X}W.$

Då ( U , X ) är ett system av imprimitivitet för G.

Två påståenden måste gälla i definitionen ovan:

• mellanrummen W för W ∈ X måste spänna över H , och
• utrymmena W ∈ X måste vara linjärt oberoende , dvs.

$\sum _{W\in X}c_{W}v_{W}=0,\quad v_{W}\in W\ setminus \{0\}$

gäller endast när alla koefficienter c _W är noll.

Om verkan av G på elementen i X är transitiv , då säger vi att detta är ett transitivt system av imprimitivitet.

₀₀ Om G är en finit grupp, G en undergrupp till G . En representation U av G induceras från en representation V av G om och endast om det finns följande:

• ett transitivt system av imprimitivitet ( U , X ) och
• ₀ ett delrum W ∈ X

₀ så att G är stabilisatorundergruppen av W under inverkan av G , dvs

$G_{0}=\{g\in G:U_{g}W_{0}\subseteq W_{0}\}.$

₀₀₀₀ och V är ekvivalent med representationen av G på W _som ges av Uh | W för h ∈ G . Observera att enligt denna definition, inducerad av är en relation mellan representationer. Vi skulle vilja visa att det faktiskt finns en kartläggning av representationer som motsvarar denna relation.

För finita grupper kan man visa att en väldefinierad inducerande konstruktion existerar på ekvivalens av representationer genom att beakta karaktären av en representation U definierad av

$\chi _{U}(g)=\operatörsnamn {tr} (U_{g}).$

₀ Om en representation U av G induceras från en representation V av G , då

$\chi _{U}(g)={\frac {1}{|G_{0}|}}\summa _{\{x\i G:{x}^{-1}\,g \,x\in G_{0}\}}\chi _{V}({x}^{-1}\ g\ x),\quad \forall g\in G.$

bestäms teckenfunktionen χ _U (och därför U själv) helt av χ _V .

Exempel

Låt G vara en ändlig grupp och betrakta rummet H för komplexa funktioner på G . Den vänstra vanliga representationen av G på H definieras av

$[\operatörsnamn {L} _{g}\psi ](h)=\psi (g^{-1}h).$

Nu kan H betraktas som den algebraiska direkta summan av de endimensionella utrymmena W _x , för x ∈ G , där

$W_{x}=\{\psi \in H:\psi (g)=0,\quad \forall g\neq x\}.$

Mellanrummen W _x permuteras av L _g .

Oändligt dimensionella system av imprimitivitet

behövs en lämplig ersättning för mängden X av vektordelrum av H som permuteras av representationen U. Som det visar sig kommer ett naivt tillvägagångssätt baserat på delrum av H inte att fungera; t.ex. har translationsrepresentationen av R på L2 ⁽ R ) inget system av imprimitivitet i denna mening . Rätt formulering av direkt summanedbrytning är formulerad i termer av projektionsvärderade mått .

Mackeys ursprungliga formulering uttrycktes i termer av en lokalt kompakt andra countable (lcsc) grupp G , en standard Borel space X och en Borel group action

$G\times X\rightarrow X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x.$

Vi kommer att hänvisa till detta som ett standard Borel G -utrymme.

Definitionerna kan ges i ett mycket mer generellt sammanhang, men den ursprungliga installationen som används av Mackey är fortfarande ganska generell och kräver färre tekniska detaljer.

Definition . Låt G vara en lcsc-grupp som verkar på ett standard Borel-mellanrum X . Ett imprimitivitetssystem baserat på ( G , X ) består av ett separerbart Hilbertutrymme H och ett par bestående av

• En starkt kontinuerlig enhetlig representation U : g → U _g av G på H .
• Ett projektionsvärderat mått π på Borel-mängderna av X med värden i projektionerna av H ;

som tillfredsställer

$U_{g}\pi (A)U_{g^{-1}}=\pi (g\cdot A).$

Exempel

Låt X vara ett standard G- mellanrum och μ ett σ-finit räknebart additivt invariant mått på X . Detta betyder

$\mu (g^{-1}A)=\mu (A)\quad$

för alla g ∈ G och Borel delmängder A av G .

Låt π( A ) vara multiplikation med indikatorfunktionen för A och U _g är operatorn

$[U_{g}\psi ](x)=\psi (g^{-1}x).\quad$

Då är ( U , π ) ett system av imprimitivitet av ( G , X ) på L ² _μ ( X ).

Detta system av imprimitivitet kallas ibland Koopman-systemet för imprimitivitet .

Homogena system av imprimitivitet

Ett system av imprimitivitet är homogent av multiplicitet n , där 1 ≤ n ≤ ω om och endast om det motsvarande projektionsvärderade måttet π på X är homogent av multiplicitet n . Faktum är att X bryts upp i en räknebar disjunkt familj { X _n } _{1 ≤ n ≤ ω} av Borel-mängder så att π är homogen med multiplicitet n på X _n . Det är också lätt att visa X _n är G invariant.

Lemma . Varje system av imprimitivitet är en ortogonal direkt summa av homogena.

Det kan visas att om verkan av G på X är transitiv, så är vilket som helst system av imprimitivitet på X homogent. Mer generellt, om verkan av G på X är ergodisk (vilket betyder att X inte kan reduceras med invarianta korrekta Borel-uppsättningar av X ) så är varje system av imprimitivitet på X homogent.

Vi diskuterar nu hur strukturen hos homogena system av imprimitivitet kan uttryckas i en form som generaliserar den Koopman-representation som ges i exemplet ovan.

I det följande antar vi att μ är ett σ-ändligt mått på ett standard Borel G -utrymme X så att verkan av G respekterar måttklassen μ. Detta villkor är svagare än invarians, men det räcker för att konstruera en enhetlig översättningsoperator liknande Koopman-operatorn i exemplet ovan. G respekterar måttklassen μ betyder att Radon-Nikodym-derivatet

$s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^ {-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\i [0,\infty )$

är väldefinierad för varje g ∈ G , där

$g^{-1}\mu (A)=\mu (gA).\quad$

Det kan visas att det finns en version av s som är gemensamt Borel mätbar, det vill säga

$s:G\times X\rightarrow [0,\infty )$

är Borel mätbar och tillfredsställer

$s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^ {-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\i [0,\infty )$

för nästan alla värden på ( g , x ) ∈ G × X .

Antag att H är ett separerbart Hilbert-utrymme, U( H ) de enhetliga operatorerna på H . En enhetlig samcykel är en Borel-kartläggning

$\Phi :G\times X\rightarrow \operatörsnamn {U} (H)$

Så att

$\Phi (e,x)=I\quad$

för nästan alla x ∈ X

$\Phi (gh,x)=\Phi (g,h\cdot x)\Phi (h,x)$

för nästan alla ( g , h , x ). En enhetlig samcykel är strikt om och endast om ovanstående relationer gäller för alla ( g , h , x ). Det kan visas att för varje enhetlig medcykel finns det en strikt enhetlig medcykel som nästan överallt är lika med den (Varadarajan, 1985).

Sats . Definiera

$[U_{g}\psi ](x)={\sqrt {s(g,g^{-1}x)}}\ \Phi (g,g^{-1}x)\ \psi (g^{-1}x).$

Då är U en enhetlig representation av G på Hilbertrummet

$\int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x).$

Dessutom, om för någon Borel-mängd A , är π( A ) projektionsoperatorn

$\pi (A)\psi =1_{A}\psi ,\quad \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x)\högerpil \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x),$

då är ( U , π ) ett system av imprimitivitet av ( G , X ).

Omvänt är varje homogent system av imprimitivitet av denna form, för något mått σ-ändligt mått μ. Detta mått är unikt upp till att mäta ekvivalens, det vill säga två sådana mått har samma uppsättningar av mått 0.

Mycket mer kan sägas om överensstämmelsen mellan homogena system av imprimitivitet och samcykler.

När åtgärden av G på X är transitiv emellertid, tar överensstämmelsen en särskilt explicit form baserat på representationen som erhålls genom att begränsa samcykeln Φ till en fast punktundergrupp av åtgärden. Vi behandlar detta fall i nästa avsnitt.

Exempel

Ett system av imprimitivitet ( U , π) av ( G , X ) på ett separerbart Hilbert-rum H är irreducerbart _om och endast om de enda slutna delrummen är invarianter under alla operatorerna Ug och π( A ) för g och element i G och A en Borel-delmängd av X är H eller {0}.

Om ( U , π) är irreducerbar så är π homogen. Dessutom är motsvarande mått på X enligt föregående sats ergodisk.

Inducerade representationer

Om X är ett Borel G- mellanslag och x ∈ X , då fixpunktsundergruppen

$G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}$

är en sluten undergrupp av G . Eftersom vi bara antar att verkan av G på X är Borel, är detta faktum icke-trivialt. För att bevisa det kan man använda det faktum att ett standard Borel G -utrymme kan bäddas in i ett kompakt G -utrymme där handlingen är kontinuerlig.

Sats . Antag att G agerar på X transitivt. Sedan finns det ett σ-ändligt kvasi-invariant mått μ på X som är unikt upp till att mäta ekvivalens (det vill säga vilka två sådana mått som helst har samma uppsättningar av mått noll).

Om Φ är en strikt enhetlig samcykel

$\Phi :G\times X\rightarrow \operatörsnamn {U} (H)$

då är begränsningen av Φ till fixpunktsundergruppen Gx en Borel-mätbar enhetsrepresentation U av Gx på H ( _här har U( H ) den starka operatortopologin ₎ . Det är dock känt att en Borel-mätbar enhetsrepresentation nästan överallt (med avseende på Haar-mått) är lika med en starkt kontinuerlig enhetsrepresentation. Denna restriktionsmappning skapar en grundläggande överensstämmelse:

Sats . Antag att G agerar transitivt på X med kvasi-invariant mått μ. Det finns en bijektion från enhetliga ekvivalensklasser av system av imprimitivitet av ( G , X ) och enhetliga ekvivalensklasser av representation av G _x .

Dessutom bevarar denna bijektion irreducerbarhet, det vill säga ett system av imprimitivitet av ( G , X ) är irreducerbar om och endast om motsvarande representation av G _x är irreducerbar.

Givet en representation V av G _x kallas motsvarande representation av G representationen inducerad av V .

Se sats 6.2 av (Varadarajan, 1985).

Tillämpningar på teorin om grupprepresentationer

System av imprimitivitet uppstår naturligt vid bestämningen av representationerna av en grupp G som är den halvdirekta produkten av en abelsk grupp N av en grupp H som verkar genom automorfismer av N . Detta betyder att N är en normal undergrupp av G och H en undergrupp av G så att G = NH och N ∩ H = { e } (där e är identitetselementet för G ).

Ett viktigt exempel på detta är den inhomogena Lorentz-gruppen .

Fixa G , H och N enligt ovan och låt X vara teckenutrymmet för N. I synnerhet agerar H på X genom

$[h\cdot \chi ](n)=\chi (h^{-1}nh).$

Sats . Det finns en bijektion mellan enhetliga ekvivalensklasser av representationer av G och enhetliga ekvivalensklasser av system av imprimitivitet baserade på ( H , X ). Denna korrespondens bevarar sammanflätade operatörer. Speciellt är en representation av G irreducerbar om och endast om motsvarande system av imprimitivitet är irreducerbar.

Detta resultat är av särskilt intresse när verkan av H på X är sådan att varje ergodisk kvasi-invariant mått på X är transitiv. I så fall är varje sådant mått bilden av (en helt ändlig version) av Haarmåttet på X vid kartan

$g\mapsto g\cdot x_{0}.$

En nödvändig förutsättning för att detta ska vara fallet är att det finns en räknebar uppsättning av H invarianta Borel-mängder som separerar banorna för H . Detta är till exempel fallet för Lorentz-gruppens verkan på teckenutrymmet i R ⁴ .

Exempel: Heisenberggruppen

Heisenberggruppen är gruppen av 3 × 3 reella matriser av formen :

${\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Denna grupp är den halvdirekta produkten av

$H={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&w&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}:w\in \mathbb {R} {\bigg \}}$

och den abelska normala undergruppen

$N={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&0&t\\0&1&s\\0&0&1\end{bmatrix}}:s,t\in \mathbb {R} {\bigg \}}.$

Beteckna den typiska matrisen i H med [ w ] och den typiska i N med [ s , t ]. Sedan

$[w]^{-1}{\begin{bmatrix}s \\t\end{bmatrix}}[w]={\begin{bmatrix}s\\-ws+t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-w&1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}$

w verkar på dualen av R ² genom multiplikation med transponeringsmatrisen

${\begin{bmatrix}1&-w\\0&1\end{bmatrix}}.$

Detta tillåter oss att helt bestämma banorna och representationsteorin.

Banans struktur : Banorna delas in i två klasser:

• ₀ En horisontell linje som skär y -axeln vid ett värde y som inte är noll . I det här fallet kan vi ta det kvasi-invarianta måttet på denna linje för att vara Lebesgue-mått.
• ₀ En enda punkt ( x ,0) på x -axeln

Banstruktur på dubbelt utrymme

Fastpunktsundergrupper : Dessa delas också in i två klasser beroende på omloppsbanan:

• Den triviala undergruppen {0}
• Själva gruppen H

Klassificering : Detta tillåter oss att helt klassificera alla irreducerbara representationer av Heisenberg-gruppen. Dessa parametriseras av den uppsättning som består av

• R − {0}. Dessa är oändliga dimensionella.
• ₀₀ Par ( x , λ) ∈ R × R . x är abskissan för enpunktsbanan på x -axeln och λ är ett element i dualen av H. Dessa är endimensionella.

Vi kan skriva ner explicita formler för dessa representationer genom att beskriva begränsningarna till N och H .

Fall 1 . Motsvarande representation π har formen: Den verkar på L ² ( R ) med avseende på Lebesgue-mått och

$(\pi [s,t]\psi )(x)=e^{ity_{0}}e^{isx}\psi (x).\quad$

$(\pi [w]\psi )(x)=\psi (x+wy_{0}).\quad$

Fall 2 . Motsvarande representation ges av den 1-dimensionella karaktären

$\pi [s,t]=e^{isx_{0}}.\quad$

$\pi [w]=e^{i\lambda w}.\quad$

• GW Mackey, The Theory of Unitary Group Representations , University of Chicago Press, 1976.
• VS Varadarajan, Geometry of Quantum Theory , Springer-Verlag, 1985.
• David Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, volym 42, nummer 1/september, 1979, s. 1–70.