Svag mätning

Inom kvantmekanik (och beräkning & information ) är svaga mätningar en typ av kvantmätningar som resulterar i att en observatör i genomsnitt får väldigt lite information om systemet, men som också stör tillståndet väldigt lite. Från Buschs teorem störs systemet med nödvändighet av mätningen. I litteraturen är svaga mätningar också kända som oskarpa, luddiga, matta, bullriga, ungefärliga och milda mätningar. Dessutom förväxlas svaga mätningar ofta med det distinkta men relaterade konceptet med det svaga värdet .

Historia

Man tänkte först på svaga mätningar i samband med svaga kontinuerliga mätningar av kvantsystem (dvs. kvantfiltrering och kvantbanor) . Fysiken för kontinuerliga kvantmätningar är som följer. Överväg att använda en ancilla, t.ex. ett fält eller en ström , för att sondera ett kvantsystem. Interaktionen mellan systemet och sonden korrelerar de två systemen. Vanligtvis korrelerar interaktionen endast svagt systemet och ancilla (specifikt, interaktionsenheten behöver bara utökas till första eller andra ordningen i störningsteorin). Genom att mäta ancillan och sedan använda kvantmätningsteori kan systemets tillstånd betingat av resultaten av mätningen bestämmas. För att få en stark mätning måste många ancilla kopplas och sedan mätas. I gränsen där det finns ett kontinuum av ancilla blir mätprocessen kontinuerlig i tiden. Denna process beskrevs först av: Mensky; Belavkin ; Barchielli, Lanz, Prosperi; Barchielli; Grottor ; Grottor och Milburn . Senare Howard Carmichael och Howard M. Wiseman också viktiga bidrag till fältet.

Uppfattningen om en svag mätning är ofta felaktigt tillskriven Aharonov , Albert och Vaidman . I sin artikel betraktar de ett exempel på ett svagt mått (och kanske myntar uttrycket "svagt mått") och använder det för att motivera sin definition av ett svagt värde , som de definierade där för första gången.

Matematik

Det finns ingen allmänt accepterad definition av ett svagt mått. Ett tillvägagångssätt är att förklara ett svagt mått som ett generaliserat mått där några eller alla Kraus-operatörer är nära identiteten. Tillvägagångssättet nedan är att interagera två system svagt och sedan mäta ett av dem. Efter att ha detaljerat detta tillvägagångssätt kommer vi att illustrera det med exempel.

Svag interaktion och ancillakopplad mätning

Betrakta ett system som börjar i kvanttillståndet $|\psi \rangle$ och en ancilla som börjar i tillståndet $|\phi \rangle$ , det kombinerade initiala tillståndet är $|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ . Dessa två system interagerar via Hamiltonian $H=A\otimes B$ , som genererar tidsutvecklingen $U(t)= \exp[-ixtH]$ (i enheter där $\hbar =1$ ), där $x$ är "interaktionsstyrkan", som har enheter för invers tid. Antag en fast interaktionstid $t=\Delta t$ och att $\lambda =x\Delta t$ är liten, så att $\lambda ^ {3}\approx 0$ . En serieexpansion av $U$ i $\lambda$ ger

${\begin{aligned}U&=I\otimes Ii\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3}) \\&\approx I\otimes Ii\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned} }$

Eftersom det bara var nödvändigt att expandera det enhetliga till en låg ordning i störningsteorin, kallar vi detta för en svag interaktion. Vidare, det faktum att det enhetliga huvudsakligen är identitetsoperatorn, eftersom $\lambda$ och $\lambda ^{2}$ är små, antyder att tillståndet efter interaktionen inte är radikalt olikt initialtillstånd. Systemets kombinerade tillstånd efter interaktion är

$|\Psi '\rangle =\left(I\otimes Ii\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{ 2}\right)|\Psi \rangle .$

Nu utför vi en mätning på ancillan för att ta reda på systemet, detta kallas en ancilla-kopplad mätning. Vi kommer att överväga mätningar i en bas $|q\rangle$ (på ancillasystemet) så att ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$ . Mätningens verkan på båda systemen beskrivs av projektorernas verkan $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ på det gemensamma tillståndet $|\Psi '\rangle$ . Från kvantmätningsteorin vet vi det villkorliga tillståndet efter mätningen är

${\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '| \Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\ frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes | q\rangle ,\end{aligned}}$

där ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}} är en normaliseringsfaktor för vågfunktionen$ . Lägg märke till att ancillasystemets tillstånd registrerar resultatet av mätningen. Objektet ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{ 2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ är en operator i systemet Hilbert space och kallas en Kraus-operator .

Med avseende på Kraus-operatörerna är det kombinerade systemets eftermätningstillstånd

$|\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dolk }M_{q}| \psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .$

Objekten $E_{q}=M_{q}^{\dolk }M_{q}$ är element i vad som kallas en POVM och måste lyda ${ \textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ så att motsvarande sannolikheter summeras till enhet: ${\textstil \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\summa _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$ . Eftersom ancillasystemet inte längre är korrelerat med det primära systemet, registrerar det helt enkelt resultatet av mätningen, vi kan spåra över det. Om du gör det får du bara det villkorade tillståndet för det primära systemet:

$|\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dolk }M_{ q}|\psi \rangle }}},$

som vi fortfarande märker med resultatet av mätningen $q$ . Faktum är att dessa överväganden tillåter en att härleda en kvantbana .

Exempel Kraus-operatörer

Vi kommer att använda det kanoniska exemplet på Gaussiska Kraus-operatorer som ges av Barchielli, Lanz, Prosperi; och Caves och Milburn. Ta $H=x\otimes p$ , där position och momentum på båda systemen har den vanliga kanoniska kommuteringsrelationen $[x,p]=i$ . Ta den initiala vågfunktionen för ancillan för att ha en Gaussisk fördelning

$|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/ (4\sigma ^{2})]|q'\rangle .$

Positionsvågfunktionen för ancilla är

$\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^ {2}/(4\sigma ^{2})].$

Kraus-operatorerna är (jämfört med diskussionen ovan sätter vi $\lambda =1$ )

${\begin{aligned}M(q)&=\langle q| \exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(qx )^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

medan motsvarande POVM-element är det

${\begin{aligned}E(q)&=M_ {q}^{\dolk }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(qx)^{2}/ (2\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

som lyder ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$ . En alternativ representation ses ofta i litteraturen. Använda den spektrala representationen av positionsoperatorn ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$ , vi kan skriva

${\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-( qx')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(qx')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{ Justerat}}$

Lägg märke till att ${\textstil \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$ . Det vill säga, i en viss gräns begränsar dessa operatörer till en stark positionsmätning; för andra värden på $\sigma$ hänvisar vi till mätningen som finit styrka; och som $\sigma \to \infty$ , säger vi att måttet är svagt.

Avvägning mellan information-vinst och störning

Som nämnts ovan förhindrar Buschs teorem en gratis lunch: det kan inte finnas någon informationsvinst utan störningar. Emellertid har avvägningen mellan informationsvinst och störning karaktäriserats av många författare, inklusive Fuchs och Peres ; Fuchs; Fuchs och Jacobs; och Banaszek.

Nyligen har avvägningsrelationen information-vinst-störning undersökts i samband med det som kallas "gentle-measurement lemma".

Ansökningar

Sedan de tidiga dagarna har det varit tydligt att den primära användningen av svag mätning skulle vara för återkopplingskontroll eller adaptiva mätningar av kvantsystem. Detta motiverade faktiskt mycket av Belavkins arbete, och ett uttryckligt exempel gavs av Caves och Milburn. En tidig tillämpning av adaptiva svaga mätningar var Dolinar-mottagaren , som har realiserats experimentellt. En annan intressant tillämpning av svaga mätningar är att använda svaga mätningar följt av en enhetlig, möjligen villkorad av det svaga mätresultatet, för att syntetisera andra generaliserade mätningar. Wiseman och Milburns bok är en bra referens för många av de moderna utvecklingarna.

Vidare läsning

• Bruns artikel
• Jacobs och Stecks ​​artikel
•   Quantum Measurement Theory and its Applications, K. Jacobs (Cambridge Press, 2014) ISBN 9781107025486
• Quantum Measurement and Control, HM Wiseman och GJ Milburn (Cambridge Press, 2009)
• Tamir och Cohens artikel