Superquadrics

Några superquadris.

Inom matematiken är superquadrics eller super-quadrics (även superquadrics ) en familj av geometriska former som definieras av formler som liknar de av ellipsoider och andra quadrics , förutom att kvadreringsoperationerna ersätts av godtyckliga makter. De kan ses som de tredimensionella släktingarna till superellipserna . Termen kan syfta på det fasta föremålet eller till dess yta , beroende på sammanhanget. Ekvationerna nedan anger ytan; den fasta substansen specificeras genom att ersätta likhetstecken med mindre-än-eller-lika-tecken.

Superquadrics inkluderar många former som liknar kuber , oktaedrar , cylindrar , pastiller och spindlar , med rundade eller skarpa hörn. På grund av sin flexibilitet och relativa enkelhet är de populära geometriska modelleringsverktyg, särskilt inom datorgrafik . Det blir en viktig geometrisk primitiv som ofta används i datorseende, robotik och fysisk simulering.

Vissa författare, som Alan Barr, definierar "superquadrics" som att inkludera både superellipsoiderna och supertoroiderna . I modern datorseendelitteratur används superquadris och superellipsoider omväxlande, eftersom superellipsoider är den mest representativa och allmänt använda formen bland alla superquadrics. Omfattande täckning av geometriska egenskaper hos superquadrics och metoder för deras återhämtning från avståndsbilder och punktmoln täcks i flera datorseendelitteratur. Användbara verktyg och algoritmer för superquadrics visualisering, sampling och återställning är öppen källkod här .

Formler

Implicit ekvation

Ytan av den grundläggande superquadric ges av

\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1

där r , s och t är positiva reella tal som bestämmer huvuddragen i superkvadricen. Nämligen:

mindre än 1: en spetsig oktaeder modifierad för att ha konkava ytor och skarpa kanter .
exakt 1: en vanlig oktaeder .
mellan 1 och 2: en oktaeder modifierad för att ha konvexa ytor, trubbiga kanter och trubbiga hörn.
exakt 2: en sfär
större än 2: en kub modifierad för att ha rundade kanter och hörn.
oändlig (i gränsen ): en kub

Varje exponent kan varieras oberoende för att erhålla kombinerade former. Till exempel, om r = s =2, och t =4, erhåller man en rotationsmassa som liknar en ellipsoid med runt tvärsnitt men tillplattade ändar. Denna formel är ett specialfall av superellipsoidens formel om (och endast om) r = s .

Om någon exponent tillåts vara negativ sträcker sig formen till oändligheten. Sådana former kallas ibland superhyperboloider .

Grundformen ovan sträcker sig från -1 till +1 längs varje koordinataxel. Den allmänna superquadric är resultatet av att skala denna grundform med olika mängder A , B , C längs varje axel. Dess allmänna ekvation är

\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\ vänster|{\frac {z}{C}}\right|^{t}=1.

Parametrisk beskrivning

Parametriska ekvationer i termer av ytparametrar u och v (motsvarande longitud och latitud om m är lika med 2) är

{\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v, {\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v, {\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v, {\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}

där hjälpfunktionerna finns

{\begin{aligned}f(\omega ,m)&{}=\operatörsnamn {sgn}(\sin \omega )\left|\sin \omega \right|^{m}\\g( \omega ,m)&{}=\operatörsnamn {sgn}(\cos \omega )\left|\cos \omega \right|^{m}\end{aligned}}

och teckenfunktionen sgn( x ) är

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0, &x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}

Sfärisk produkt

Barr introducerar den sfäriska produkten som givet två plana kurvor ger en 3D-yta. Om

f(\mu )={\begin{pmatrix} f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\quad g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu)\\g_ {2}(\nu )\end{pmatrix}}

är två plana kurvor då är den sfäriska produkten

h(\ mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu)\ f_{1}(\mu )\\g_{1}(\ nu )\ f_{2}(\mu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}

Detta liknar den typiska parametriska ekvationen för en sfär :

{\justed }x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \ pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \end{aligned}}}

som ger upphov till namnet sfärisk produkt.

Barr använder den sfäriska produkten för att definiera kvadriska ytor, som ellipsoider och hyperboloider , såväl som torus , superellipsoid , superquadriska hyperboloider av ett och två ark, och supertoroider.

Rita kod

Följande GNU Octave -kod genererar en mesh approximation av en superquadric:

 
    
    
    
    
    
    
    
    
        
          
            
            
        

  
 funktion  superquadric  (  epsilon,a  )  n  =  50  ;  etamax  =  pi  /  2  ;  etamin  =  -pi  /  2  ;  _  wmax  =  pi  ;  wmin  =  -  pi  ;  deta  =  (  etamax  -  etamin  )  /  n  ;  dw  =  (  wmax  -  wmin  )  /  n  ;  [  i  ,  j  ]  =  meshgrid  (  1  :  n  +  1,1  :  n  +  1  )  eta  =  etamin  +  (  i  -  1  )  *  deta  ;  _  _  w  =  wmin  +  (  j  -  1  )  *  dw  ;  x  =  a  (  1  )  .*  tecken  (  cos  (  eta  ))  .*  abs  (  cos  (  eta  ))  .^  epsilon  (  1  )  .*  tecken  (  cos  (  w  ))  .*  abs  (  cos  (  w  ))  .^  epsilon  (  1  );  y  =  a  (  2  )  .*  tecken  (  cos  (  eta  ))  .*  abs  (  cos  (  eta  ))  .^  epsilon  (  2  )  .*  tecken  (  sin  (  w  ))  .*  abs  (  sin  (  w  ))  .^  epsilon  (  2  );  z  =  a  (  3  )  .*  tecken  (  sin  (  eta  ))  .*  abs  (  sin  (  eta  ))  .^  epsilon  (  3  );  mesh  (  x  ,  y  ,  z  );  slutet

Se även

externa länkar