Kroneckers lemma

Inom matematiken är Kroneckers lemma (se t.ex. Shiryaev (1996 , Lemma IV.3.2)) ett resultat om förhållandet mellan konvergens av oändliga summor och konvergens av sekvenser. Lemmat används ofta i bevisen för satser om summor av oberoende slumpvariabler som den starka lagen om stora tal . Lemmat är uppkallat efter den tyske matematikern Leopold Kronecker .

Lemmat

Om $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ är en oändlig följd av reella tal så att

$\sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s$

existerar och är ändlig, då har vi för alla $0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots$ och $b_{n}\to \infty$ det

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k =1}^{n}b_{k}x_{k}=0.$

Bevis

Låt $S_{k}$ beteckna delsummorna av x: en. Använda summering av delar ,

${\frac {1}{b_{n }}}\summa _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=1} ^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}$

Välj valfri ε > 0. Välj nu N så att $S_{k}$ är ε -nära s för k > N . Detta kan göras när sekvensen $S_{k}$ konvergerar till s . Då är den högra sidan:

$S_ {n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{ \frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}$

$=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=1}^{N- 1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=N}^{n-1}(b_{ k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k })(S_{k}-s)$

$=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_ {k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\summa _{k=N}^{ n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).$

oss nu gå till oändligheten. Den första terminen går till s , som avbryts med den tredje terminen. Den andra termen går till noll (eftersom summan är ett fast värde). Eftersom b- sekvensen ökar, begränsas den sista termen av $\epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \ epsilon$ .

•   Shiryaev, Albert N. (1996). Sannolikhet (2:a uppl.). Springer. ISBN 0-387-94549-0 .