Abels summeringsformel

Andra begrepp som ibland är kända under detta namn är summering av delar och Abel-Plana formel .

Inom matematiken används Abels summationsformel , introducerad av Niels Henrik Abel , intensivt i analytisk talteori och studiet av specialfunktioner för att beräkna serier .

Formel

Låt $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ vara en sekvens av reella eller komplexa tal . Definiera delsummafunktionen $A$ med

$A(t)=\summa _{0\leq n\leq t}a_{n}$

för valfritt reellt tal $t$ . Fixa reella tal $x<y$ , och låt $\phi$ vara en kontinuerligt differentierbar funktion på $[x,y]$ . Sedan:

$\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x} ^{y}A(u)\phi '(u)\,du.$

Formeln härleds genom att tillämpa integration av delar för en Riemann–Stieltjes-integral till funktionerna $A$ och $\phi$ .

Variationer

Att ta den vänstra slutpunkten till $-1$ ger formeln

$\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{0}^{x}A(u)\ phi '(u)\,du.$

Om sekvensen $(a_{n})$ indexeras med början på $n=1$ , då kan vi formellt definiera $a_{0}=0$ . Den tidigare formeln blir

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\ phi '(u)\,du.$

Ett vanligt sätt att tillämpa Abels summeringsformel är att ta gränsen för en av dessa formler som $x\to \infty$ . De resulterande formlerna är

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A( x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\summa _{n=1}^{ \infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int _{1} ^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}$

Dessa ekvationer gäller när båda gränserna på höger sida finns och är ändliga.

Ett särskilt användbart fall är sekvensen $a_{n}=1$ för alla $n\geq 0$ . I det här fallet är $A(x)=\lfloor x+1\rfloor$ . För denna sekvens förenklar Abels summeringsformel till

$\sum _{0\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x+1\rfloor \phi (x)-\int _{0}^{x}\lfloor u+1\ rfloor \phi '(u)\,du.$

På liknande sätt, för sekvensen $a_{0}=0$ och $a_{n}=1$ för alla $n\geq 1$ , blir formeln

$\sum _{1\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x\rfloor \phi (x)-\int _{1}^{x}\lfloor u\rfloor \phi ' (u)\,du.$

När vi tar gränsen som $x\to \infty$ , finner vi

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty } \phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x+1\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }\lgolv u+1\rgolv \phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty } {\bigl (}\lfloor x\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du,\end{ Justerat}}$

förutsatt att båda termerna på höger sida existerar och är ändliga.

Abels summationsformel kan generaliseras till fallet där $\phi$ endast antas vara kontinuerlig om integralen tolkas som en Riemann–Stieltjes-integral :

$\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x} ^{y}A(u)\,d\phi (u).$

Genom att ta $\phi$ för att vara den partiella summafunktionen associerad med någon sekvens, leder detta till summationsformeln efter delar .

Exempel

Harmoniska siffror

Om $a_{n}=1$ för $n\geq 1$ och $\phi (x)=1/x,$ sedan $A(x)=\lfloor x\rfloor$ och formeln ger

$\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor}{x}}+\int _{1 }^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.$

Den vänstra sidan är övertonstalet $H_{\lfloor x\rfloor }$ .

Representation av Riemanns zetafunktion

Fixa ett komplext tal $s$ . Om $a_{n}=1$ för $n\geq 1$ och $\phi (x)=x^{- s},$ sedan $A(x)=\lfloor x\rfloor$ och formeln blir

$\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s} }}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}}}\,du.$

Om ${\displaystyle \Re (s)>1} finns$ gränsen som $x\to \infty$ och ger formeln

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}}}\,du.$

Detta kan användas för att härleda Dirichlets sats att $\zeta (s)$ har en enkel pol med rest 1 vid s = 1 .

Ömsesidigt till Riemanns zeta-funktion

Tekniken i det föregående exemplet kan också tillämpas på andra Dirichlet-serier . Om $a_{n}=\mu (n)$ är Möbius-funktionen och $\phi (x)=x^{-s}$ , då är $A(x)=M(x)=\summa _{n\leq x}\mu (n)$ Mertens funktion och

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}= s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,du.$

Den här formeln gäller för $\Re (s)>1$ .

Se även

• Summering efter delar
• Integrering av delar

• Apostol, Tom (1976), Introduktion till analytisk talteori , Grundutbildningstexter i matematik , Springer-Verlag .