Stolarsky menar

Inom matematiken är Stolarsky-medelvärdet en generalisering av det logaritmiska medelvärdet . Den introducerades av Kenneth B. Stolarsky 1975.

Definition

För två positiva reella tal x , y definieras Stolarsky-medelvärdet som:

{\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\ till (x,y)}\vänster({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\höger)^{1/(p-1 )}\\[10pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p( xy)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}

Härledning

Den härleds från medelvärdessatsen , som säger att en sekantlinje , skär grafen för en differentierbar funktion $f$ vid $(x,f(x))$ och $(y,f(y))$ , har samma lutning som en linje som tangerar grafen vid någon punkt $\xi$ i intervallet $[x,y]$ .

\exists \xi \i [x,y]\ f'(\xi )={\ frac {f(x)-f(y)}{xy}}

Stolarsky-medelvärdet erhålls av

\xi =f'^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)} {xy}}\right)

när du väljer $f(x)=x^{p}$ .

Speciella fall

$\lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)$ är minimum .
$S_{-1}(x,y)$ är det geometriska medelvärdet .
$\lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)$ är det logaritmiska medelvärdet . Den kan erhållas från medelvärdessatsen genom att välja $f(x)=\ln x$ .
$S_{\frac {1}{2}}(x,y)$ är potensmedelvärdet med exponent ${\frac {1}{2}}$ .
$\lim _{p\to 1}S_{p}(x,y)$ är det identiska medelvärdet . Den kan erhållas från medelvärdessatsen genom att välja $f(x)=x\cdot \ln x$ .
$S_{2}(x,y)$ är det aritmetiska medelvärdet .
$S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))$ är en koppling till det kvadratiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet .
$\lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)$ är det maximala .