Identiskt medelvärde

Det identiska medelvärdet av två positiva reella tal x , y definieras som:

${\begin{aligned}I(x,y)&={\frac { 1}{e}}\cdot \lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\sqrt[{\xi -\eta }]{\frac {\xi ^{\xi } }{\eta ^{\eta }}}}\\[8pt]&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\exp \left({\frac {\xi \ cdot \ln \xi -\eta \cdot \ln \eta }{\xi -\eta }}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x =y\\[8pt]{\frac {1}{e}}{\sqrt[{xy}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}&{\text{else }}\end{cases}}\end{aligned}}$

Den kan härledas från medelvärdessatsen genom att betrakta sekanten av grafen för funktionen $x\mapsto x\cdot \ln x$ . Det kan generaliseras till fler variabler enligt medelvärdessatsen för delade skillnader . Det identiska medelvärdet är ett specialfall av Stolarsky-medelvärdet .

Se även

• Betyda
• Logaritmiskt medelvärde

Weisstein, Eric W. "Identric Mean" . MathWorld .