Medelvärdessats (delade skillnader)

I matematisk analys generaliserar medelvärdessatsen för uppdelade skillnader medelvärdessatsen till högre derivator.

Uttalande av satsen

₀ För alla n + 1 parvis distinkta punkter x , ..., x _n i domänen för en n - gånger differentierbar funktion f finns det en inre punkt

$\xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\}, \max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,$

där den n :te derivatan av f är lika med n ! gånger den n :e delade skillnaden vid dessa punkter:

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

För n = 1, det vill säga två funktionspunkter, får man den enkla medelvärdessatsen .

Bevis

₀ Låt $P$ vara Lagrange-interpolationspolynomet för f vid x , ..., x _n . Sedan följer det av Newtonformen av $P$ att den högsta termen för $P$ är $f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dots (x-x_{1})(x-x_{0} )$ .

₀ Låt $g$ vara resten av interpolationen, definierad av $g=fP$ . Då har $g$$n+1$ nollor: x , ..., x _n . Genom att tillämpa Rolles sats först på $g$ , sedan på $g'$ och så vidare tills $g^{(n-1)}$ finner vi att $g^{(n)}$ har en noll $\xi$ . Detta innebär att

$0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!$ ,

$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.$

Ansökningar

Teoremet kan användas för att generalisera Stolarsky-medelvärdet till mer än två variabler.