Tredimensionell plot som visar värdena för det logaritmiska medelvärdet.
I matematik är det logaritmiska medelvärdet en funktion av två icke-negativa tal som är lika med deras skillnad dividerat med logaritmen för deras kvot . Denna beräkning är tillämplig i tekniska problem som involverar värme- och massöverföring .
Definition
Det logaritmiska medelvärdet definieras som:
M
lm
( x , y )
=
lim
( ξ , η ) → ( x , y )
η − ξ
ln ( η ) − ln ( ξ )
=
{
x
om
x = y ,
y − x
ln ( y ) − ln ( x )
annars,
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y) }{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x= y,\\{\frac {yx}{\ln(y)-\ln(x)}}&{\text{annars,}}\end{case}}\end{aligned}}}
för de positiva talen
x , y
{\displaystyle x,y}
Ojämlikheter
Det logaritmiska medelvärdet av två tal är mindre än det aritmetiska medelvärdet och det generaliserade medelvärdet med exponenten en tredjedel men större än det geometriska medelvärdet , såvida inte talen är desamma, i vilket fall alla tre medelvärdena är lika med talen.
0
x y
≤
x − y
ln ( x ) − ln ( y )
≤
(
x
1
/
3
+
y
1
/
3
2
)
3
≤
x + y
2
för alla
x >
och
y > 0.
{\displaystyle {\ sqrt {xy}}\leq {\frac {xy}{\ln(x)-\ln(y)}}\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3 }}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ för alla }}x>0{\text{ och }}y>0 .}
Toyesh Prakash Sharma generaliserar den aritmetiska logaritmiska geometriska medelolikheten för varje
n
{\displaystyle n}
x y
( ln (
x y
)
)
( n − 1 )
( ln (
x y
) + n ) ≤
x
ln
n
( x )
− y
ln
n
( y )
ln ( x ) − ( ln y )
≤
x ( ln ( x )
)
( n - 1 )
( ln ( x ) + n ) + y ( ln ( y )
)
( n - 1 )
( ln ( y ) + n )
2
{ \displaystyle {\sqrt {xy}}(\ln({\sqrt {xy}}))^{(n-1)}(\ln({\sqrt {xy}})+n)\leq {\frac {x{\ln ^{n}(x)}-y{\ln ^{n}(y)}}{\ln(x)-\ln(y)}}\leq {\frac {x(\ ln(x))^{(n-1)}(\ln(x)+n)+y(\ln(y))^{(n-1)}(\ln(y)+n)}{ 2}}}
Nu, för
n =
0
{\displaystyle n=0}
x y
( ln (
x y
)
)
( − 1 )
( ln (
x y
) ) ≤
x − y
ln ( x ) − ln ( y )
≤
x ( ln ( x )
)
( − 1 )
( ln ( x ) ) + y ( ln ( y )
)
( − 1 )
( ln ( y ) )
2
{\displaystyle {\sqrt {xy}}(\ln({\sqrt {xy}}) )^{(-1)}(\ln({\sqrt {xy}}))\leq {\frac {xy}{\ln(x)-\ln(y)}}\leq {\frac {x (\ln(x))^{(-1)}(\ln(x))+y(\ln(y))^{(-1)}(\ln(y))}{2}}}
x y
≤
x − y
ln ( x ) − ln ( y )
≤
x + y
2
{\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq {\frac {xy}{\ln(x)-\ln( y)}}\leq {\frac {x+y}{2}}}
Detta är den aritmetiska logaritmiska geometriska medelolikheten. på liknande sätt kan man också få resultat genom att sätta olika värden på
n
{\displaystyle n}
För
n = 1
{\displaystyle n=1}
x y
( ln (
x y
) + 1 ) ≤
x
ln ( x )
− y
ln ( y )
ln ( x ) − ln ( y )
≤
x ( ln ( x ) + 1 ) + . ( ln ( y ) + 1 )
2
{\displaystyle {\sqrt {xy}}(\ln({\sqrt {xy}})+1)\leq {\frac {x{\ln(x)}- y{\ln(y)}}{\ln(x)-\ln(y)}}\leq {\frac {x(\ln(x)+1)+y(\ln(y)+1) }{2}}}
för beviset gå igenom bibliografin.
Härledning
Medelvärdessats för differentialkalkyl
Från medelvärdessatsen finns det ett värde
ξ
{\displaystyle \xi }
intervallet mellan x och y där derivatan
f ′ {
displaystyle f'}
sekantlinjen :
∃ ξ ∈ ( x , y ) :
f ′
( ξ ) =
f ( x ) − f ( y )
x − y
{\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )= {\frac {f(x)-f(y)}{xy}}}
Det logaritmiska medelvärdet erhålls som värdet av
ξ
{\displaystyle \xi }
ln
{\displaystyle \ln }
f
{\displaystyle f}
derivata :
1 ξ
=
ln ( x ) − ln ( y )
x − y
{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{xy }}}
och lösa för
ξ
{\displaystyle \xi }
ξ =
x − y
ln ( x ) − ln ( y )
{\displaystyle \xi ={\frac {xy}{\ln(x)-\ln(y)}}}
Integration
Det logaritmiska medelvärdet kan också tolkas som arean under en exponentiell kurva .
L ( x , y ) =
0
∫
1
x
1 − t
y
t
d
t =
0
∫
1
(
y x
)
t
x
d
t = x
0
∫
1
(
y x
)
t
d
t
=
x
ln ( y x )
(
y x
)
(
y x )
)
t
|
t =
0
1
=
x
ln
(
y x
)
(
y x
− 1
)
=
y − x
ln
(
y x
)
=
y − x
ln
( y )
− ln
( x )
{\displaystyle {\begin{aligned }L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^ {1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\ frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y }{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac { x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {yx} {\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {yx}{\ln \left(y\right)-\ln \ left(x\right)}}\end{aligned}}}
Areatolkningen möjliggör enkel härledning av vissa grundläggande egenskaper hos det logaritmiska medelvärdet. Eftersom exponentialfunktionen är monoton , begränsas integralen över ett intervall med längden 1 av
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
L ( c x , c y ) = c L ( x , y )
{\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)
} .
Två andra användbara integrerade representationer är
1
L ( x , y )
=
0
∫
1
d t
t x + ( 1 − t ) y
{\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatörsnamn { d} \!t \over tx+(1-t)y}}
och
1
L ( x , y )
=
0
∫
∞
d t
( t + x ) ( t + y )
.
{\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatörsnamn {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)} .}
Generalisering
Medelvärdessats för differentialkalkyl
Man kan generalisera medelvärdet till
n + 1
{\displaystyle n+1}
medelvärdessatsen för delade skillnader för den
n
{\displaystyle n}:
derivatan av logaritmen.
Vi får
L
MV
(
x
0
, … ,
x
n
) =
( − 1
)
( n + 1 )
n ln
(
[
x
0
, … ,
x
n
]
)
− n
{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0 },\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0} ,\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}
där
ln
(
[
x
0
, … ,
x
n
]
)
{\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)} anger
delad skillnaden i logaritmen.
För
n = 2
{\displaystyle n=2}
L
MV
( x , y , z ) =
( x − y )
(
y − z
)
(
z − x
)
2
(
(
y − z
)
ln
( x )
+
(
z − x
)
ln
( y )
+
(
x − y
)
ln
( z )
)
{\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(xy)\left(yz\right)\left(zx \right)}{2\left(\left(yz\right)\ln \left(x\right)+\left(zx\right)\ln \left(y\right)+\left(xy\right) \ln \left(z\right)\right)}}}}
Väsentlig
Integraltolkningen kan också generaliseras till fler variabler, men den leder till ett annat resultat. Givet simplexet
S
{\textstil S}
S = {
(
α
0
, … ,
α
n
)
:
(
α
0
+ ⋯ +
α
n
= 1
)
∧
(
α
0
≥
0
)
∧ ⋯ ∧
(
α
n
≥
0
)
}
{\textstyle S =\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}= 1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}} och ett lämpligt
d
α
{\textstyle \mathrm {d} \alpha }
L
I
(
x
0
, … ,
x
n
)
=
∫
S
0
x
α
0
⋅ ⋯ ⋅
x
n
α
n
d
α
{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\, x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}} \ \mathrm {d} \alpha }
Detta kan förenklas med hjälp av delade skillnader i exponentialfunktionen till
L
I
(
x
0
, … ,
x
n
)
= n ! exp
[
ln
(
x
0
)
, … , ln
(
x
n
)
]
{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right )=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}
Exempel
n = 2
{\textstil n=2}
L
I
( x , y , z ) = − 2
x
(
ln
( y )
− ln
( z )
)
+ y
(
ln
( z )
− ln
( x )
)
+ z
(
ln
( x )
− ln
( y )
)
(
ln
( x )
− ln
( y )
)
(
ln
( y )
− ln
( z )
)
(
ln
( z )
− ln
( x )
)
{\displaystyle L_{ \text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left (\ln \vänster(z\höger)-\ln \vänster(x\höger)\höger)+z\vänster(\ln \vänster(x\höger)-\ln \vänster(y\höger)\höger) }{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\ höger)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}
Anslutning till andra medel
Aritmetiskt medelvärde :
L
(
x
2
,
y
2
)
L ( x , y )
=
x + y
2
{\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L (x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}
Geometriskt medelvärde :
L
(
x , y
)
L
(
1 x
,
1 y
)
=
x y
{\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy }}}
Harmoniskt medelvärde :
L
(
1 x
,
1 y
)
L
(
1
x
2
,
1
y
2
)
=
2
1 x
+
1 y
{\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x }},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}} }\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
Se även
Citationsbibliografi _
Oljefältsordlista: Term 'logaritmiskt medelvärde' Weisstein, Eric W. "Aritmetisk-logaritmisk-geometrisk-medelolikhet" . MathWorld Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean
Toyesh Prakash Sharma.: https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf "A generalization of the Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\[6pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln(y)-\ln(x)}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b45ba94901cfc8fc47565d4b9212ab83ff1e02)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834a3d1b2267cb6d782f1542ced8616b209e17c0)
![{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f768d4332d13acc1ed2bef32032c7fd92c84bc)
![{\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456e6367275d5f13829e0150ea009b5b093bb38)
![{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0beb3a5bfda4ba6e6185d83ddf13c718d7a590c)
