Steinberggruppen (K-teori)

I algebraisk K-teori , ett matematikfält , är Steinberggruppen $\operatorname {St} (A)$ av en ring $\displaystyle A}$ { den universella centrala förlängningen av kommutatorundergruppen av den stabila allmänna linjära gruppen av $A$ .

Den är uppkallad efter Robert Steinberg , och den är kopplad till lägre $K$ -grupper , särskilt $K_{2}$ och $K_{3}$ .

Definition

Sammanfattningsvis, givet en ring $A$ , är Steinberg-gruppen $\operatorname {St} (A)$ den universella centrala förlängningen av kommutatorundergruppen i den stabila allmänna linjära gruppen (kommutatorn undergrupp är perfekt och så har en universell central förlängning).

Presentation med hjälp av generatorer och relationer

En konkret presentation med hjälp av generatorer och relationer är följande. Elementära matriser — dvs matriser av formen ${e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq} }(\lambda )$ , där $\mathbf {1}$ är identitetsmatrisen, ${a_{pq}}(\lambda )$ är matrisen med ${\ displaystyle \lambda }$ i $(p,q)$ -entry och nollor någon annanstans, och $p\neq q$ — uppfyller följande relationer, kallade Steinberg-relationer :

${\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}( \lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{för }}i\neq k;\\\left[e_{ij} (\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{för }}i\neq l{\text{ och }}j\neq k.\end {Justerat}}$

Den instabila Steinberg-gruppen av ordningen $r$ över $A$ , betecknad med ${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)} ,$ definieras av generatorer ${x_{ij}}(\lambda )$ , där $1\leq i\neq j\leq r$ och ${\ displaystyle \lambda \in A}$ , dessa generatorer är föremål för Steinberg-relationerna. Den stabila Steinberg-gruppen , betecknad med $\operatorname {St} (A)$${\ operatörsnamn {St} _{r}}(A)\till {\operatörsnamn {St} _{r+1}}(A)$ är den direkta gränsen för systemet . Det kan också ses som Steinberggruppen av oändlig ordning.

Kartläggning av ${x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )$ ger en grupphomomorfism $\varphi :\operatörsnamn {St} (A)\till {\operatörsnamn {GL} _{\infty }}(A)$ . När de elementära matriserna genererar kommutatorundergruppen , är denna mappning surjektiv på kommutatorundergruppen.

Tolkning som en grundläggande grupp

Steinberggruppen är den grundläggande gruppen av Volodin-rummet , som är föreningen av klassificeringsutrymmen av de unipotenta undergrupperna av GL( A ).

Relation till K -teori

K ₁

${K_{1}}(A)$ är kartans kokkärna $\varphi :\operatörsnamn {St} (A )\till {\operatörsnamn {GL} _{\infty }}(A)$ , eftersom $K_{1}$ är abelianiseringen av ${\operatörsnamn {GL} _ {\infty }}(A)$ och avbildningen $\varphi$ är surjektiv på kommutatorundergruppen.

K ₂

${K_{2}}(A)$ är mitten av Steinberggruppen. Detta var Milnors definition, och det följer också av mer allmänna definitioner av högre $K$ -grupper.

Det är också kärnan i mappningen $\varphi :\operatörsnamn {St} (A)\till {\operatörsnamn {GL} _{\infty }}( A)$ . Det finns faktiskt en exakt sekvens

$1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\till {\operatörsnamn {GL} _{\infty }}(A)\till {K_{1}}(A)\till 1.$

På motsvarande sätt är det Schur-multiplikatorn för gruppen av elementära matriser , så det är också en homologigrupp : ${K_{2}}(A) ={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )$ .

K ₃

Gersten (1973) visade att ${K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatörsnamn {St} (A) );\mathbb {Z} )$ .

•   Gersten, SM (1973), " $K_{3}$ of a Ring is $H_{3}$ of the Steinberg Group", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 37 (2): 366–368, doi : 10.2307/2039440 , JSTOR 2039440

•   Milnor, John Willard (1971), Introduction to Algebraic $K$ -theory , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton University Press , MR 0349811

•   Steinberg, Robert (1968), Lectures on Chevalley Groups , Yale University, New Haven, Conn., MR 0466335 , arkiverad från originalet 2012-09-10