Steinberg symbol

I matematik är en Steinberg-symbol en parfunktion som generaliserar Hilbert-symbolen och spelar en roll i den algebraiska K-teorin om fält . Den är uppkallad efter matematikern Robert Steinberg .

För ett fält F definierar vi en Steinberg-symbol (eller helt enkelt en symbol ) som en funktion $(\cdot ,\cdot ):F^{*}\times F^{*}\rightarrow G$ , där G är en abelsk grupp, skriven multiplikativt, så att

• $(\cdot ,\cdot )$ är bimultiplikativ;
• om $a+b=1$ då $(a,b)=1$ .

Symbolerna på F härrör från en "universell" symbol, som kan anses ta värden i $F^{*}\otimes F^{*}/\ langle a\otimes 1-a\rangle$ . Enligt en sats från Matsumoto är denna grupp $K_{2}F$ och är en del av Milnor K-teorin för ett fält.

Egenskaper

Om (⋅,⋅) är en symbol då (förutsatt att alla termer är definierade)

• $(a,-a)=1$ ;
• $(b,a)=(a,b)^{-1}$ ;
• $(a,a)=(a,-1)$ är ett element av ordningen 1 eller 2;
• $(a,b)=(a+b,-b/a)$ .

Exempel

• Den triviala symbolen som är identisk med 1.
• Hilbert -symbolen på F med värden i {±1} definierade av

${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ har en icke- noll lösning }}(x,y,z)\in F^{3};\\-1,&{\mbox{ om inte.}}\end{cases}}} Contou-Carrère-symbolen är$

• en symbol för ringen av Laurent power series över en Artinian ring .

Kontinuerliga symboler

Om F är ett topologiskt fält så är en symbol c svagt kontinuerlig om för varje y i F ^∗ mängden x i F ^∗ så att c ( x , y ) = 1 stängs i F ^∗ . Detta hänvisar inte till en topologi på kodomänen G . Om G är en topologisk grupp , då kan man tala om en kontinuerlig symbol , och när G är Hausdorff är en kontinuerlig symbol svagt kontinuerlig.

De enda svagt kontinuerliga symbolerna på R är den triviala symbolen och Hilbert-symbolen: den enda svagt kontinuerliga symbolen på C är den triviala symbolen. Karakteriseringen av svagt kontinuerliga symboler på ett icke-arkimediskt lokalt fält F erhölls av Moore. Gruppen K ₂ ( F ) är den direkta summan av en cyklisk grupp av ordningen m och en delbar grupp K ₂ ( F ) ^m . En symbol på F lyfter till en homomorfism på K ₂ ( F ) och är svagt kontinuerlig just när den förintar den delbara komponenten K ₂ ( F ) ^m . Det följer att varje svagt kontinuerlig symbol faktorer genom normrestsymbolen .

Se även

• Steinberggruppen (K-teori)

•    Conner, PE; Perlis, R. (1984). En undersökning av spårformer av algebraiska talfält . Serien i ren matematik. Vol. 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0 . Zbl 0551.10017 .
•    Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduktion till kvadratiska former över fält . Forskarstudier i matematik . Vol. 67. American Mathematical Society. s. 132–142. ISBN 0-8218-1095-2 . Zbl 1068.11023 .
•    Milnor, John Willard (1971). Introduktion till algebraisk K-teori . Annals of Mathematics Studies. Vol. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press . MR 0349811 . Zbl 0237.18005 .
•    Steinberg, Robert (1962). "Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques". Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (på franska). Bryssel: Gauthier-Villars: 113–127. MR 0153677 . Zbl 0272.20036 .

externa länkar

• Steinberg-symbol vid Encyclopaedia of Mathematics