Stefan problem

Inom matematiken och dess tillämpningar, särskilt för fasövergångar i materia, är ett Stefan-problem en speciell typ av gränsvärdesproblem för ett system av partiella differentialekvationer (PDE), där gränsen mellan faserna kan röra sig med tiden. Det klassiska Stefan-problemet syftar till att beskriva utvecklingen av gränsen mellan två faser av ett material som genomgår en fasförändring , till exempel smältningen av ett fast ämne, såsom is till vatten . Detta åstadkoms genom att lösa värmeekvationer i båda regionerna, med förbehåll för givna gräns- och initialvillkor. Vid gränssnittet mellan faserna (i det klassiska problemet) ställs temperaturen in på fasändringstemperaturen. krävs ytterligare en ekvation, Stefan-villkoret . Detta är en energibalans som definierar positionen för det rörliga gränssnittet. Observera att denna utvecklande gräns är en okänd (hyper) yta ; därför är Stefan-problem exempel på problem med fria gränser .

Analoga problem uppstår till exempel i studiet av poröst medieflöde, matematisk ekonomi och kristalltillväxt från monomerlösningar.

Historisk anteckning

Problemet är uppkallat efter Josef Stefan (Jožef Stefan), den slovenske fysikern som introducerade den allmänna klassen av sådana problem runt 1890 i en serie om fyra artiklar om frysning av marken och bildandet av havsis . Men ungefär 60 år tidigare, 1831, hade ett motsvarande problem, angående bildandet av jordskorpan, studerats av Lamé och Clapeyron . Stefans problem medger en likhetslösning , detta kallas ofta för Neumann -lösningen, som påstås presenterades i en serie föreläsningar i början av 1860-talet.

En omfattande beskrivning av Stefans problems historia finns hos Rubinstein.

Premisser till den matematiska beskrivningen

Ur en matematisk synvinkel är faserna bara regioner där lösningarna för den underliggande PDE är kontinuerliga och differentierbara upp till PDE:s ordning. I fysikaliska problem representerar sådana lösningar egenskaper hos mediet för varje fas. De rörliga gränserna (eller gränssnitten ) är oändligt mycket tunna ytor som separerar intilliggande faser; därför kan lösningarna för den underliggande PDE och dess derivat drabbas av diskontinuiteter över gränssnitt.

De underliggande PDE:erna är inte giltiga vid fasändringsgränssnitten; därför behövs ytterligare ett villkor – Stefan-villkoret – för att erhålla stängning . Stefan-villkoret uttrycker den lokala hastigheten för en rörlig gräns, som en funktion av kvantiteter utvärderade på vardera sidan av fasgränsen, och härleds vanligtvis från en fysisk begränsning. I problem med värmeöverföring med fasförändring, till exempel, dikterar bevarande av energi att diskontinuiteten av värmeflödet vid gränsen måste förklaras av hastigheten för latent värmefrigöring (som är proportionell mot den lokala hastigheten för gränsytan).

Ekvationens regelbundenhet har studerats huvudsakligen av Luis Caffarelli och ytterligare förfinats genom arbete av Alessio Figalli , Xavier Ros-Oton och Joaquim Serra

Matematisk formulering

Det endimensionella enfasiga Stefan-problemet

Enfas Stefan-problemet bygger på ett antagande om att en av de materiella faserna kan försummas. Vanligtvis uppnås detta genom att anta att en fas är vid fasändringstemperaturen och följaktligen leder varje variation från detta till en fasändring. Detta är en matematiskt bekväm approximation, som förenklar analysen samtidigt som den visar de väsentliga idéerna bakom processen. En ytterligare standardförenkling är att arbeta i icke-dimensionellt format, så att temperaturen vid gränssnittet kan ställas in på noll och fjärrfältsvärden till $+1$ eller $-1$ .

Betrakta ett semi-oändligt endimensionellt isblock initialt vid smälttemperatur $u=0$ för $x\in [0;+\infty )$ . Den mest välkända formen av Stefan-problem involverar smältning via en pålagd konstant temperatur vid den vänstra gränsen, vilket lämnar en region $[0;s(t)]$ upptagen av vatten. Det smälta djupet, betecknat med $s(t)$ , är en okänd funktion av tiden. Stefan-problemet definieras av

Värmeekvationen: ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x ,t)\i [0;s(t)]\ gånger [0;+\infty ]$
En fast temperatur, över smälttemperaturen, på den vänstra gränsen: $u(0,t)=1,\quad \forall t>0$
Gränssnittet vid smälttemperaturen är inställt på $u\left(s(t),t\right)=0$
Stefan-villkoret: ${\displaystyle \beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}} s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)} där β {\displaystyle \$ beta $är$ Stefan-talet, förhållandet mellan latent till specifik förnuftig värme (där specifik anger att den är dividerad med massan). Observera att denna definition följer naturligt av icke-dimensionaliseringen och används i många texter, men den kan också definieras som motsatsen till detta .
Den initiala temperaturfördelningen: $u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0$
Det inledande djupet för det smälta isblocket: $s(0)=0$

Neumann-lösningen, erhållen genom att använda självliknande variabler, indikerar att gränsens position ges av

{\textstil s(t)=2\lambda {\sqrt {t}}}

där

\lambda

uppfyller den transcendentala ekvationen

\beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf} }(\lambda )}}.

Temperaturen i vätskan ges då av

T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}} (\lambda )}}.

Ansökningar

Förutom modellering av smältning av fasta ämnen, används Stefan-problemet också som en modell för det asymptotiska beteendet (i tiden) av mer komplexa problem. Till exempel använder Pego matchade asymptotiska expansioner för att bevisa att Cahn-Hilliards lösningar för fasseparationsproblem beter sig som lösningar på ett icke-linjärt Stefan-problem på en mellanliggande tidsskala. Dessutom är lösningen av Cahn–Hilliard-ekvationen för en binär blandning rimligen jämförbar med lösningen av ett Stefan-problem. I denna jämförelse löstes Stefan-problemet med en front-tracking, moving-mesh-metod med homogena Neumann-randvillkor vid den yttre gränsen. Stefan-problem kan också användas för att beskriva andra fastransformationer än fast-fluid eller fluid-fluid.

Stefan-problemet har också en rik omvänd teori; i sådana problem är mätningsdjupet (eller kurvan eller hyperytan ) $s$ det kända datumet och problemet är att hitta $u$ eller $f$ .

Avancerade former av Stefanproblem

Det klassiska Stefan-problemet handlar om stationära material med konstanta termofysiska egenskaper (vanligtvis oberoende av fas), en konstant fasändringstemperatur och, i exemplet ovan, en momentan växling från den initiala temperaturen till ett distinkt värde vid gränsen. I praktiken kan de termiska egenskaperna variera och gör det specifikt alltid när fasen ändras. Hoppet i densitet vid fasförändring inducerar en flytande rörelse: den resulterande kinetiska energin figurerar inte i standardenergibalansen. Med en momentan temperaturomkopplare är den initiala vätskehastigheten oändlig, vilket resulterar i en initial oändlig kinetisk energi. I själva verket är vätskeskiktet ofta i rörelse, vilket kräver advektion eller konvektionstermer i värmeekvationen . Smälttemperaturen kan variera med storlek, krökning eller hastighet på gränsytan. Det är omöjligt att omedelbart växla temperaturer och då svårt att hålla en exakt fast gränstemperatur. Vidare, på nanoskala kanske temperaturen inte ens följer Fouriers lag.

Ett antal av dessa problem har angripits under de senaste åren för en mängd olika fysiska tillämpningar. Vid stelning av underkylda smältor kan en analys där fasändringstemperaturen beror på gränssnittshastigheten hittas i Font et al . Nanoskala stelning, med variabel fasförändringstemperatur och energi/densitetseffekter modelleras in. Stelning med flöde i en kanal har studerats, i samband med lava och mikrokanaler, eller med en fri yta i samband med att vatten fryser över ett islager . En generell modell som inkluderar olika egenskaper i varje fas, variabel fasförändringstemperatur och värmeekvationer baserade på antingen Fouriers lag eller Guyer-Krumhansl-ekvationen analyseras i.

Se även

Anteckningar

Historiska referenser

Vuik, C. (1993), "Some historical notes about the Stefan problem", Nieuw Archief voor Wiskunde , 4e serie, 11 (2): 157–167, Bibcode : 1993STIN...9332397V , MR 1239620 , Zbl 50802 3 . En intressant historisk artikel om teorins tidiga dagar; en förtryckt version (i PDF- format) finns tillgänglig här [1] .

Vetenskapliga och allmänna referenser

Cannon, John Rozier (1984), The One-Dimensional Heat Equation , Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 23 (1:a upplagan), Reading – Menlo Park – London – Don Mills – Sydney – Tokyo / Cambridge – New York City – New Rochelle – Melbourne – Sydney : Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , s. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , MR 0747979 , Zbl 0567.35001 . Innehåller en omfattande bibliografi, varav 460 artiklar behandlar Stefan och andra problem med fria gränser, uppdaterad till 1982.
Kirsch, Andreas (1996), Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems , Applied Mathematical Sciences series, vol. 120, Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag , s. x+282, ISBN 0-387-94530-X , MR 1479408 , Zbl 0865.35004
Meirmanov, Anvarbek M. (1992), The Stefan Problem , De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 3, Berlin – New York: Walter de Gruyter , s. x+245, doi : 10.1515/9783110846720 , ISBN 3-11-011479-8 , MR 1154310 , Zbl 0751.35052 . – via De Gruyter (prenumeration krävs) En viktig monografi från en av de ledande bidragsgivarna på området, som beskriver hans bevis på existensen av en klassisk lösning på det flerdimensionella Stefan-problemet och överblickar dess historiska utveckling.
Oleinik, OA (1960), "A method of solution of the general Stefan problem", Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska), 135 : 1050–1057, MR 0125341 , Zbl 0131.09202 . Uppsatsen som innehåller Olga Oleiniks bevis på existensen och unikheten av en generaliserad lösning för det tredimensionella Stefan-problemet, baserat på tidigare undersökningar av hennes elev SL Kamenomostskaya .
Kamenomostskaya, SL (1958), "Om Stefan Problem", Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematheskie Nauki (på ryska), 1 (1): 60–62, Zbl 0143.13901 . Den tidigare redogörelsen för författarens forskning om Stefan-problemet.
Kamenomostskaya, SL (1961), "Om Stefans problem" , Matemacheskii Sbornik (på ryska), 53(95) (4): 489–514, MR 0141895 , Zbl 0102.09301 . I denna artikel bevisar författaren existensen och unikheten hos en generaliserad lösning för det tredimensionella Stefan-problemet, senare förbättrad av hennes mästare Olga Oleinik.
Rodrigues, JF (1989), "The Stefan problem revisited", Mathematical Models for Phase Change Problems , Birkhäuser, s. 129–190, ISBN 0-8176-2309-4
Rubinstein, LI (1971), The Stefan Problem , Translations of Mathematical Monographs, vol. 27, Providence, RI : American Mathematical Society , sid. viii+419, ISBN 0-8218-1577-6 , MR 0351348 , Zbl 0219.35043 . En omfattande referens, skriven av en av de ledande bidragsgivarna till teorin, uppdaterad fram till 1962–1963 och innehåller en bibliografi med 201 artiklar.
Tarzia, Domingo Alberto (juli 2000), "A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat-Diffusion Equation. The Stefan and Related Problems", MAT. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422/MAT.A.2000.2.tar , ISSN 1515-4904 , MR 1802028 , Zbl 35207 . Författarens imponerande personliga bibliografi om problem med rörliga och fria gränser (M–FBP) för värmediffusionsekvationen (H–DE), innehållande cirka 5900 referenser till verk, förekom i cirka 884 olika typer av publikationer. Dess uttalade mål är att försöka ge en heltäckande redogörelse för den existerande västerländska matematisk-fysikalisk-tekniska litteraturen om detta forskningsfält. Nästan allt material i ämnet, publicerat efter den historiska och första uppsatsen av Lamé–Clapeyron (1831), har samlats. Källor inkluderar vetenskapliga tidskrifter, symposium eller konferenshandlingar, tekniska rapporter och böcker.

externa länkar

Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Stefan condition" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Stefan problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Stefan problem, inverse" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press