Cahn–Hilliards ekvation

Cahn –Hilliard-ekvationen ( efter John W. Cahn och John E. Hilliard) är en ekvation för matematisk fysik som beskriver fasseparationsprocessen, genom vilken de två komponenterna i en binär vätska spontant separeras och bildar domäner rena i varje komponent. Om $c$ är vätskans koncentration, där $c=\pm 1$ indikerar domäner, så skrivs ekvationen som

{\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^ {3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right),

där $D$ är en diffusionskoefficient med enheterna ${\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}$ och ${\sqrt { \gamma }}$ anger längden på övergångsregionerna mellan domänerna. Här $\partial /{\partial t}$ den partiella tidsderivatan och $\nabla ^{2}$ är Laplacian i $n$ dimensioner. Dessutom identifieras kvantiteten ${\displaystyle \mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c} som en$ kemisk potential .

Besläktad med den är Allen–Cahn-ekvationen , såväl som den stokastiska Cahn–Hilliard-ekvationen och den stokastiska Allen–Cahn-ekvationen.

Funktioner och applikationer

Av intresse för matematiker är förekomsten av en unik lösning av Cahn-Hilliard-ekvationen, given av smidiga initiala data. Beviset bygger i huvudsak på förekomsten av en Lyapunov-funktion . Specifikt om vi identifierar oss

F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+ {\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right],

som en fri energifunktion, alltså

{\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},

så att den fria energin inte växer med tiden. Detta indikerar också att segregering i domäner är det asymptotiska resultatet av utvecklingen av denna ekvation.

I verkliga experiment observeras segregeringen av en initialt blandad binär vätska i domäner. Segregationen kännetecknas av följande fakta.

Utveckling av slumpmässiga initiala data under Cahn–Hilliard-ekvationen med

\gamma =0,5

och

C=0

, vilket visar fasseparation.

Det finns ett övergångsskikt mellan de segregerade domänerna, med en profil som ges av funktionen $c(x)=\tanh \left({\frac {x}{ \sqrt {2\gamma }}}\right),$ och därmed en typisk bredd ${\sqrt {\gamma }}$ eftersom denna funktion är en jämviktslösning av Cahn–Hilliard-ekvationen.
Av intresse är också det faktum att de segregerade domänerna växer med tiden som en maktlag. Det vill säga, om $L(t)$ är en typisk domänstorlek, då $L(t)\propto t^{1/3}$ . Detta är Lifshitz-Slyozov-lagen och har bevisats rigoröst för Cahn-Hilliard-ekvationen och observerats i numeriska simuleringar och verkliga experiment på binära vätskor.
Cahn–Hilliard-ekvationen har formen av en bevarandelag, ${\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot \ mathbf {j} (x),$ med $\mathbf {j} (x)=-D\nabla \mu$ . Således bevarar fasseparationsprocessen den totala koncentrationen ${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)} ,$ så att ${\frac {dC}{dt}}=0$ .
När en fas är betydligt rikligare kan Cahn–Hilliard-ekvationen visa fenomenet som kallas Ostwald-mognad , där minoritetsfasen bildar sfäriska droppar, och de mindre dropparna absorberas genom diffusion in i de större.

Cahn–Hilliard-ekvationerna hittar tillämpningar inom olika områden: i komplexa vätskor och mjuka ämnen (gränssnittsvätskeflöde, polymervetenskap och i industriella tillämpningar). Lösningen av Cahn-Hilliard-ekvationen för en binär blandning visade sig stämma väl överens med lösningen av ett Stefan-problem och modellen av Thomas och Windle. Av intresse för forskare för närvarande är kopplingen av fasseparationen av Cahn-Hilliard-ekvationen till Navier-Stokes-ekvationerna för vätskeflöde.

Se även

Vidare läsning

Cahn, John W.; Hilliard, John E. (1958). "Fri energi av ett olikformigt system. I. Gränssnittsfri energi". Journal of Chemical Physics . AIP-publicering. 28 (2): 258–267. Bibcode : 1958JChPh..28..258C . doi : 10.1063/1.1744102 . ISSN 0021-9606 .
Bray, AJ (1994). "Teori om fasordnande kinetik". Framsteg inom fysik . 43 (3): 357–459. arXiv : cond-mat/9501089 . Bibcode : 1994AdPhy..43..357B . doi : 10.1080/00018739400101505 . ISSN 0001-8732 . S2CID 83182 .
Zhu, Jingzhi; Chen, Long-Qing; Shen, Jie; Tikare, Veena (1999-10-01). "Förstorande kinetik från en Cahn-Hilliard-ekvation med variabel rörlighet: Tillämpning av en semi-implicit Fourier-spektralmetod". Fysisk granskning E . American Physical Society (APS). 60 (4): 3564–3572. Bibcode : 1999PhRvE..60.3564Z . doi : 10.1103/physreve.60.3564 . ISSN 1063-651X . PMID 11970189 .
Elliott, Charles M.; Songmu, Zheng (1986). "Om Cahn-Hilliards ekvation". Arkiv för rationell mekanik och analys . Springer Nature. 96 (4): 339–357. Bibcode : 1986ArRMA..96..339E . doi : 10.1007/bf00251803 . ISSN 0003-9527 . S2CID 56206640 .
Areias, P.; Samaniego, E.; Rabczuk, T. (2015-12-17). "Ett förskjutet tillvägagångssätt för koppling av diffusion av Cahn-Hilliard-typ och finit töjningselasticitet" . Beräkningsmekanik . Springer Science and Business Media LLC. 57 (2): 339–351. doi : 10.1007/s00466-015-1235-1 . ISSN 0178-7675 . S2CID 123982946 .
Hashimoto, Takeji; Matsuzaka, Katsuo; Moses, Elisa; Onuki, Akira (1995-01-02). "Strängfas i fasseparerande vätskor under skjuvflöde". Fysiska granskningsbrev . American Physical Society (APS). 74 (1): 126–129. Bibcode : 1995PhRvL..74..126H . doi : 10.1103/physrevlett.74.126 . ISSN 0031-9007 . PMID 10057715 .
T. Ursell, "Cahn-Hilliard Kinetics and Spinodal Decomposition in a Diffuse System," California Institute of Technology (2007).