Stechkins lemma

Inom matematik – närmare bestämt i funktionsanalys och numerisk analys – är Stechkins lemma ett resultat om ℓ ^q -normen för svansen av en sekvens , när hela sekvensen är känd för att ha ändlig ℓ ^p -norm. Här betyder termen "svans" de termer i sekvensen som inte är bland de N största termerna, för ett godtyckligt naturligt tal N . Stechkins lemma är ofta användbart när man analyserar bästa- N -term approximationer till funktioner i en given bas av ett funktionsrum . Resultatet bevisades ursprungligen av Stechkin i fallet $q=2$ .

Uttalande av lemma

Låt $0<p<q<\infty$ och låt $I$ vara en räknebar indexuppsättning . Låt $(a_{i})_{i\in I}$ vara vilken sekvens som helst indexerad av $I$ , och för $N\in \mathbb {N}$ låt $I_{N}\subset I$ vara indexen för de $N$ största termerna i sekvensen $(a_{i })_{i\in I}$ i absolut värde . Sedan

$\left(\summa _{i\in I\ setminus I_{N}}|a_{i}|^{q}\right)^{1/q}\leq \left(\summa _{i\in I}|a_{i}|^{p}\ höger)^{1/p}{\frac {1}{N^{r}}}$

var

$r={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}>0$ .

Således styr Stechkins lemma ℓ ^q -normen för svansen av sekvensen ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}} ($ och därmed ℓ ^q -normen för skillnaden mellan sekvensen och dess approximation med hjälp av dess $N$ största termer) i termer av ℓ ^p -normen för hela sekvensen och en avklingningshastighet.

•    Schneider, Reinhold; Uschmajew, André (2014). "Approximationshastigheter för det hierarkiska tensorformatet i periodiska Sobolev-utrymmen". Journal of Complexity . 30 (2): 56–71. CiteSeerX 10.1.1.690.6952 . doi : 10.1016/j.jco.2013.10.001 . ISSN 0885-064X . Se avsnitt 2.1 och fotnot 5.