Stark subadditivitet av kvantentropi

I kvantinformationsteorin är stark subadditivitet av kvantentropi ( SSA ) förhållandet mellan von Neumann-entropierna av olika kvantdelsystem i ett större kvantsystem bestående av tre subsystem (eller av ett kvantsystem med tre frihetsgrader). Det är ett grundläggande teorem i modern kvantinformationsteori . Det antogs av DW Robinson och D. Ruelle 1966 och OE Lanford III och DW Robinson 1968 och bevisades 1973 av EH Lieb och MB Ruskai , med utgångspunkt i resultat som Lieb fick i hans bevis på Wigner-Yanase-Dyson-förmodan.

Den klassiska versionen av SSA var länge känd och uppskattad inom klassisk sannolikhetsteori och informationsteori. Beviset för detta samband i det klassiska fallet är ganska enkelt, men kvantfallet är svårt på grund av icke-kommutativiteten hos de matriser med reducerad densitet som beskriver kvantdelsystemen.

Några användbara referenser här inkluderar:

• "Kvantberäkning och kvantinformation"
• "Kvantumentropi och dess användning"
• Spåra ojämlikheter och kvantentropi: en introduktionskurs

Definitioner

Vi använder följande notation genomgående: Ett Hilbert-mellanslag betecknas med ${\mathcal {H}}$ och ${\mathcal {B}}({\mathcal {H} })$ betecknar de avgränsade linjära operatorerna på ${\mathcal {H}}$ . Tensorprodukter betecknas med upphöjd skrift, t.ex. ${\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H }}^{2}$ . Spåret betecknas med ${\rm {Tr}}$ .

Densitetsmatris

En densitetsmatris är en hermitisk , positiv semidefinitiv matris av spår ett. Det möjliggör beskrivning av ett kvantsystem i ett blandat tillstånd . Densitetsmatriser på en tensorprodukt betecknas med upphöjd skrift, t.ex. $\rho ^{12}$ är en densitetsmatris på ${\mathcal {H}}^{12}$ .

Entropi

von Neumann kvantentropin för en densitetsmatris $\rho$ är

$S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )$ .

Relativ entropi

Umegakis relativa kvantentropi av två densitetsmatriser $\rho$ och $\sigma$ är

$S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho - \rho \log \sigma )\geq 0$ .

Ledkonkavitet

En funktion $g$ av två variabler sägs vara gemensamt konkav om följande gäller för någon $0\leq \lambda \leq 1$

$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1 },B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$

Subadditivitet av entropi

Vanlig subadditivitet gäller endast två mellanslag ${\mathcal {H}}^{12}$ och en densitetsmatris $\rho ^{12}$ . Det står det

$S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})$

Denna olikhet stämmer förstås i klassisk sannolikhetsteori, men den senare innehåller också satsen att de villkorliga entropierna $S(\ rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})$ och $S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})$ är båda icke-negativa . I kvantfallet kan dock båda vara negativa, t.ex. kan $S(\rho ^{12})$ vara noll medan $S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0$ . Ändå fortsätter subadditivitetens övre gräns på ${\displaystyle S(\rho ^{12})} att gälla.$ Det närmaste man har $S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0$ är triangeln Araki–Lieb olikhet

$S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|$

som härrör från subadditivitet genom en matematisk teknik som kallas rening .

Stark subadditivitet (SSA)

Antag att Hilbertrummet i systemet är en tensorprodukt av tre rum: ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.$ . Fysiskt kan dessa tre rum tolkas som rummet för tre olika system, eller som tre delar eller tre frihetsgrader av ett fysiskt system.

Givet en densitetsmatris $\rho ^{123}$ på ${\mathcal {H}}$ , definierar vi en densitetsmatris $\rho ^{12}$ på ${\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}$ som ett partiellt spår : $\rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}$ . På liknande sätt kan vi definiera densitetsmatriser: $\rho ^{23}$ , $\rho ^{13}$ , $\rho ^{1}$ , ${ \displaystyle \rho ^{2}}$ , $\rho ^{3}$ .

Påstående

För alla tredelade tillstånd $\rho ^{123}$ gäller följande

$S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\ rho ^{12})+S(\rho ^{23})$ ,

där $S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{ 12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}$ , till exempel.

På motsvarande sätt kan påståendet omarbetas i termer av villkorliga entropier för att visa att för trepartstillstånd $\rho ^{ABC}$ ,

$S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)$ .

Detta kan också omformuleras i termer av ömsesidig kvantinformation ,

$I(A:BC)\geq I(A:B)$ .

Dessa uttalanden går parallellt med klassisk intuition, förutom att kvantvillkorliga entropier kan vara negativa, och ömsesidig kvantinformation kan överskrida den klassiska gränsen för marginalentropin.

Den starka subadditivitetsojämlikheten förbättrades på följande sätt av Carlen och Lieb

$S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\ {S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}$ ,

med den optimala konstanten $2$ .

J. Kiefer bevisade ett perifert relaterat konvexitetsresultat 1959, vilket är en följd av en operatör Schwarz-ojämlikhet som bevisats av EHLieb och MBRuskai. Dessa resultat är dock jämförelsevis enkla, och bevisen använder inte resultaten från Liebs uppsats från 1973 om konvexa och konkava spårfunktioner. Det var detta papper som gav den matematiska grunden för beviset på SSA av Lieb och Ruskai. Utvidgningen från en Hilbert-rymdmiljö till en von Neumann-algebrainställning, där tillstånd inte ges av densitetsmatriser, gjordes av Narnhofer och Thirring.

Satsen kan också erhållas genom att bevisa ett flertal likvärdiga påståenden, av vilka några sammanfattas nedan.

Wigner–Yanase–Dyson gissningar

EP Wigner och MM Yanase föreslog en annan definition av entropi, som generaliserades av Freeman Dyson .

Wigner–Yanase–Dysons p -skev information

Wigner–Yanase–Dyson $p$ -skev information för en densitetsmatris $\rho$ . med avseende på en operator $K$ är

$I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2 }}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],$

där $[A,B]=AB-BA$ är en kommutator, $K^{*}$ är adjointen till $K$ och $0\leq p\leq 1$ är fast.

Konkavitet av p -skev information

Det antogs av EP Wigner och MM Yanase i att $p$ - skevningsinformation är konkav som en funktion av en densitetsmatris $\rho$ för en fast $0\leq p \leq 1$ .

Eftersom termen $-{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}$ är konkav (den är linjär), gissningar reducerar till problemet med konkavitet av $Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K$ . Som nämnts i antyder denna gissning (för alla $0\leq p\leq 1$ ) SSA, och bevisades för $p={\tfrac {1}{2} }$ i, och för alla $0\leq p\leq 1$ in i följande mer allmänna form: Funktionen av två matrisvariabler

$A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K$

 

 

 

 

()

är gemensamt konkav i $A$ och $B,$ när $0\leq r\leq 1$ och $p+r\leq 1$ .

Detta teorem är en viktig del av beviset för SSA i.

I sin uppsats EP antog Wigner och MM Yanase också subadditiviteten av $p$ -skev information för ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}},$ vilket motbevisades av Hansen av ger ett motexempel.

De två första påståendena som motsvarar SSA

Det påpekades genom att det första påståendet nedan är likvärdigt med SSA och A. Ulhmann visade på likvärdigheten mellan det andra påståendet nedan och SSA.

• $S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S (\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.$ Observera att de villkorliga entropierna $S(\rho ^{12}|\rho ^{1})$ och $S(\rho ^{23}|\rho ^{3})$ behöver inte båda vara icke-negativa.
• Kartan $\rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})$ är konvex.

Båda dessa uttalanden bevisades direkt i.

Gemensam konvexitet av relativ entropi

Som noterats av Lindblad och Uhlmann, om man i ekvation ( 1 ), tar $K=1$ och $r=1-p,A=\rho$ och $B=\sigma$ och särskiljer i $p$ vid $p=0$ , får man den gemensamma konvexiteten för relativ entropi : dvs om $\rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}$ och $\sigma =\summa _{k} \lambda _{k}\sigma _{k}$ , alltså

$S{\Bigl (}\summa _{k}\lambda _ {k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S( \rho _{k}||\sigma _{k}),$

 

 

 

 

()

där $\lambda _{k}\geq 0$ med $\sum _{k}\lambda _{k}=1$ .

Monotonicitet av relativ kvantentropi

Den relativa entropin minskar monotont under operationer för fullständigt positiva spårbevarande (CPTP) ${\mathcal {N}}$ på densitetsmatriser,

$S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\ leq S(\rho \|\sigma )$ .

Denna ojämlikhet kallas Monotonicitet av kvantrelativ entropi. På grund av Stinespring-faktoriseringssatsen är denna ojämlikhet en konsekvens av ett särskilt val av CPTP-kartan - en partiell spårkarta som beskrivs nedan.

Den viktigaste och mest grundläggande klassen av CPTP-kartor är en partiell spårningsoperation $T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12 })\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})$ , givet av $T=1_{{\mathcal {H }}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}$ . Sedan

$S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),$

 

 

 

 

()

som kallas Monotonicity of quantum relative entropy under partial trace .

För att se hur detta följer av den relativa entropins gemensamma konvexitet, observera att $T$ kan skrivas i Uhlmanns representation som

$T(\rho ^{12})=N^{ -1}\summa _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal { H}}^{1}}\ibland U_{j}^{*}),$

för några ändliga $N$ och någon samling av enhetliga matriser på ${\mathcal {H}}^{2}$ (alternativt integrera över Haar-mått ). Eftersom spåret (och därmed den relativa entropin) är enhetligt invariant, följer nu olikhet ( 3 ) av ( 2 ). Denna sats beror på Lindblad och Uhlmann, vilkas bevis är det som ges här.

SSA erhålls från ( 3 ) med ${\mathcal {H}}^{1}$ ersatt av ${\mathcal {H}}^{12}$ och ${\mathcal {H}}^{2}$ ersatte ${\mathcal {H}}^{3}$ . Ta $\rho =\rho ^{123},$$\sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},$$T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}$ . Då ( 3 ) blir

$S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).$

Därför,

$S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,$

vilket är SSA. Sålunda innebär monotoniteten hos kvantrelativ entropi (som följer av ( 1 ) SSA.

Samband mellan ojämlikheter

Alla ovanstående viktiga ojämlikheter är likvärdiga med varandra och kan också bevisas direkt. Följande är likvärdiga:

• Monotonicitet av relativ kvantentropi (MONO);
• Monotonicitet av kvant relativ entropi under partiellt spår (MPT);
• Stark subadditivitet (SSA);
• Gemensam konvexitet av kvant relativ entropi (JC);

Följande implikationer visar likvärdigheten mellan dessa ojämlikheter.

• MONO $\Rightarrow$ MPT: följer eftersom MPT är ett speciellt fall av MONO;
• MPT $\Rightarrow$ MONO: visades av Lindblad, med en representation av stokastiska kartor som ett partiellt spår över ett hjälpsystem;
• MPT $\Rightarrow$ SSA: följer genom att välja ett särskilt val av tredelade tillstånd i MPT, beskrivet i avsnittet ovan, "Monotonicitet av kvant relativ entropi";
• SSA $\Rightarrow$ MPT: genom att välja $\rho _{123}$ för att vara blockdiagonal kan man visa att SSA antyder att kartan

$\rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})$ är konvex. I det observerades att denna konvexitet ger MPT;

• MPT $\Rightarrow$ JC: som det nämndes ovan, genom att välja $\rho _{12}$ (och på liknande sätt, ${\displaystyle \sigma _{12}})$ som block diagonal matris med block $\lambda _{k}\rho _{k}$ (och $\lambda _{k}\sigma _{k}$ ), den partiella spår är en summa över block så att $\rho :=\rho _{2}=\summa _{k}\lambda _{k}\rho _{ k}$ , så från MPT kan man få JC;
• JC $\Rightarrow$ SSA: genom att använda 'reningsprocessen' observerade Araki och Lieb att man kunde få nya användbara ojämlikheter från de kända. Genom att rena $\rho _{123}$ till $\rho _{1234}$ kan det visas att SSA är ekvivalent med

$S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).$

Dessutom, om $\rho _{124}$ är ren, då $S(\rho _{2})=S(\rho _{14 })$ och ${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})} ,$ så likheten gäller i ovanstående olikhet. Eftersom ytterpunkterna för den konvexa uppsättningen av densitetsmatriser är rena tillstånd, följer SSA av JC;

Se, för en diskussion.

Fallet med jämlikhet

Likhet i monotoni av kvant relativ entropi ojämlikhet

I, D. Petz visade att det enda fallet av jämlikhet i monotonitetsrelationen är att ha en riktig "återhämtning"-kanal:

För alla tillstånd $\rho$ och $\sigma$ på ett Hilbert-mellanslag ${\mathcal {H}}$ och alla kvantoperatorer ${ \displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ ,

$S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),$

om och bara om det finns en kvantoperator ${\hat {T}}$ så att

${\hat {T}}T\sigma =\sigma ,$ och ${\hat {T}}T\rho =\rho .$

Dessutom kan ${\hat {T}}$ ges explicit av formeln

${\hat {T}}\omega =\sigma ^ {1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{ 1/2},$

där $T^{*}$ är den angränsande kartan av $T$ .

D. Petz gav också ett annat villkor när likheten gäller Monotonicitet av kvant relativ entropi: det första uttalandet nedan. Genom att differentiera den vid $t=0$ har vi det andra villkoret. MB Ruskai gav dessutom ytterligare ett bevis för det andra påståendet.

För alla tillstånd $\rho$ och $\sigma$ på ${\mathcal {H}}$ och alla kvantoperatorer $T :{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\högerpil {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ ,

$S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),$

om och endast om följande likvärdiga villkor är uppfyllda:

• $T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it })=\rho ^{it}\sigma ^{-it}$ för alla riktiga $t$ .
• $\log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.$

där $T^{*}$ är den angränsande kartan av $T$ .

Jämlikhet i stark subadditivitet ojämlikhet

P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz och A. Winter beskrev de stater för vilka jämställdheten gäller i SSA.

Ett tillstånd $\rho ^{ABC}$ på ett Hilbert-mellanslag ${\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H} }^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}$ tillfredsställer stark subadditivitet med jämlikhet om och endast om det finns en nedbrytning av det andra systemet som

${\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{ L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}$

till en direkt summa av tensorprodukter, så att

$\rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^ {L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},$

med tillstånd $\rho ^{AB_{j}^{L}}$ på ${\mathcal {H}}^{A}\otimes {\ mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}$ och $\rho ^{B_{j}^{R}C}$ på ${ \displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}} , och en sannolikhetsfördelning { q j } {$ \ ${ j}\}}$ .

Carlen-Lieb Extension

EH Lieb och EA Carlen har hittat en uttrycklig felterm i SSA-ojämlikheten, nämligen,

$S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\ {0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}$

Om $S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0$ och ${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0} ,$ som alltid är fallet för den klassiska Shannon-entropin, har denna ojämlikhet inget att säga. För kvantentropin, å andra sidan, är det mycket möjligt att de villkorliga entropierna uppfyller $-S(\rho ^ {13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0$ eller $-S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0$ (men aldrig båda!). Sedan, i denna "högt kvantum" regim, ger denna ojämlikhet ytterligare information.

Konstanten 2 är optimal, i den meningen att för varje konstant större än 2 kan man hitta ett tillstånd för vilket ojämlikheten kränks med den konstanten.

Operatörsförlängning av stark subadditivitet

I sin artikel studerade I. Kim en operatörsutvidgning av stark subadditivitet, vilket bevisade följande ojämlikhet:

För ett tredelat tillstånd (densitetsmatris) $\rho ^{123}$ på ${\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\ibland {\mathcal {H}}^{3}$ ,

$\}{displaystyle B_{12 (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{ 123})){\Bigr )}\geq 0.}$

Beviset för denna ojämlikhet är baserat på Effros' teorem , för vilken speciella funktioner och operatorer väljs för att härleda olikheten ovan. MB Ruskai beskriver detta arbete i detalj i och diskuterar hur man kan bevisa en stor klass av nya matrisojämlikheter i tri- och bi-partita fall genom att ta ett partiellt spår över alla utom ett av utrymmena.

Förlängningar av stark subadditivitet när det gäller återvinningsbarhet

En betydande förstärkning av stark subadditivitet bevisades 2014, som sedan förbättrades i och. Under 2017 visades det att återställningskanalen kan anses vara den ursprungliga Petz återställningskartan. Dessa förbättringar av stark subadditivitet har fysiska tolkningar i termer av återvinningsbarhet, vilket innebär att om den villkorade ömsesidiga informationen $I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)$ av ett tredelat kvanttillstånd $\rho _{ ABE}$ är nästan lika med noll, då är det möjligt att utföra en återställningskanal ${\mathcal {R}}_{E\to AE}$ (från system E till AE) så att $\rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})$ . Dessa resultat generaliserar alltså de exakta jämställdhetsvillkoren som nämnts ovan.

Se även

• Von Neumann entropi
• Villkorlig kvantentropi
• Quantum ömsesidig information
• Kullback–Leibler divergens