Slaktargrupp

Inom matematik är Butcher -gruppen , uppkallad efter den nyzeeländska matematikern John C. Butcher av Hairer & Wanner (1974), en oändligt dimensionell Lie-grupp som först introducerades i numerisk analys för att studera lösningar av icke-linjära vanliga differentialekvationer av Runge –Kutta-metoden . Det uppstod från en algebraisk formalism som involverar rotade träd som tillhandahåller formella effektserielösningar av differentialekvationen som modellerar flödet av ett vektorfält . Det var Cayley (1857) , föranledd av Sylvesters arbete om förändring av variabler i differentialkalkyl , som först noterade att derivatorna av en sammansättning av funktioner bekvämt kan uttryckas i termer av rotade träd och deras kombinatoriska egenskaper.

Connes & Kreimer (1999) påpekade att slaktargruppen är den grupp av karaktärer i Hopf-algebra av rotade träd som hade uppstått oberoende i deras eget arbete med renormalisering i kvantfältteori och Connes arbete med Moscovici om lokala indexsatser . Denna Hopf-algebra, ofta kallad Connes-Kreimer-algebra , är i huvudsak likvärdig med slaktargruppen, eftersom dess dubbla kan identifieras med den universella omslutande algebra i Lie-algebra i slaktargruppen. Som de kommenterade:

Vi ser Butchers arbete med klassificering av numeriska integrationsmetoder som ett imponerande exempel på att konkret problemorienterat arbete kan leda till långtgående konceptuella resultat.

Differentialer och rotade träd

Rotade träd med två, tre och fyra noder, från Cayleys originalartikel

Ett rotat träd är en graf med en särskiljande nod, kallad roten , där varannan nod är ansluten till roten med en unik väg. Om roten av ett träd t tas bort och noderna som är kopplade till den ursprungliga noden med en enkel bindning tas som nya rötter , bryts trädet t upp i rotade träd t ₁ , t ₂ , ... Omvänd denna process ett nytt träd t = [ t ₁ , t ₂ , ...] kan konstrueras genom att sammanfoga trädens rötter till en ny gemensam rot. Antalet noder i ett träd betecknas med | t |. En högordning av ett rotat träd t är en allokering av talen 1 till | t | till noderna så att siffrorna ökar på vilken väg som helst som går bort från roten. Två högordningar är likvärdiga , om det finns en automorfism av rotade träd som kartlägger ett av dem på det andra. Antalet ekvivalensklasser av högordningar på ett visst träd betecknas med α( t ) och kan beräknas med hjälp av slaktarens formel:

$\displaystyle \alpha (t)={|t|! \över t!|S_{t}|},$

där S _t betecknar symmetrigruppen för t och trädfaktorialen definieras rekursivt av

$[t_{1},\dots ,t_{n}]!=|[t_{1},\dots ,t_{n}]|\cdot t_{1}!\cdots t_{n}!$

med trädfaktorialen för en isolerad rot definierad som 1

$\bullet !=1.$

Den ordinarie differentialekvationen för flödet av ett vektorfält på en öppen delmängd U av R ^N kan skrivas

$\displaystyle {dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,x (0)=x_{0},$

₀ där x ( s ) tar värden i U , f är en jämn funktion från U till R ^N och x är startpunkten för flödet vid tidpunkten s = 0.

Cayley (1857) gav en metod för att beräkna de högre ordningens derivator x ^{( m )} ( s ) i termer av rotade träd. Hans formel kan enkelt uttryckas med hjälp av de elementära differentialerna som introducerats av Butcher. Dessa definieras induktivt av

$\delta _{\bullet }^{i}=f^{i},\,\,\,\delta _{[t_{1},\dots ,t_{n}]}^{i} =\summa _{j_{1},\dots ,j_{n}=1}^{N}(\delta _{t_{1}}^{j_{1}}\cdots \delta _{t_{n }}^{j_{n}})\partial _{j_{1}}\cdots \partial _{j_{n}}f^{i}.$

Med denna notation

${d^{m}x \over ds^{m}}=\summa _{|t|=m}\alfa (t)\delta _{t},$

ger kraftserien expansion

$\displaystyle x(s)=x_{0}+\summa _{t}{s^{|t|} \över |t|!}\alpha (t)\delta _{t}(0) .$

Som ett exempel när N = 1, så att x och f är reella funktioner av en enda reell variabel, ger formeln

${ \prime \prime \prime }f^{3}+3f^{\prime \prime }f^{\prime }f^{2}+f^{\prime }f^{\prime \prime }f^{ 2}+(f^{\prime })^{3}f,}$

där de fyra termerna motsvarar de fyra rotade träden från vänster till höger i figur 3 ovan.

I en enda variabel är denna formel densamma som Faà di Brunos formel från 1855; men i flera variabler måste det skrivas mer noggrant i formuläret

$x^{(4)}=f^{\prime \prime \prime }(f,f,f)+3f^{\prime \prime }(f,f^ {\prime }(f))+f^{\prime }(f^{\prime \prime }(f,f))+f^{\prime }(f^{\prime }(f^{\prime }(f^{\prime) }(f))),$

där trädstrukturen är avgörande.

Definition med Hopf-algebra av rotade träd

Hopf -algebra H för rotade träd definierades av Connes & Kreimer (1998) i samband med Kreimers tidigare arbete om renormalisering i kvantfältteori . Det upptäcktes senare att Hopf-algebra var dualen av en Hopf-algebra definierad tidigare av Grossman & Larson (1989) i ett annat sammanhang. Tecknen i H , dvs homomorfismerna av den underliggande kommutativa algebra till R , bildar en grupp som kallas slaktargruppen . Det motsvarar den formella gruppstruktur som upptäckts i numerisk analys av Butcher (1972) .

Hopf -algebra för rotade träd H definieras som polynomringen i variablerna t , där t går genom rotade träd.

• Dess comultiplication ${\displaystyle \Delta :H\rightarrow H\otimes H$ av

$\Delta (t)=t\otimes I+I\otimes t+\sum _{s\subset t}s\otimes [t\omvänt snedstreck s],$

där summan är över alla rätt rotade underträd s av t ; $[t\backslash s]$ är den monomial som ges av produkten variablerna t _{i som} bildas av de rotade träden som uppstår vid radering av alla noder av s och anslutna länkar från t . Antalet sådana träd betecknas med n ( t \ s ).

• Dess enhet är homomorfismen ε av H till R som skickar varje variabel t till noll.
• Dess antipod S kan definieras rekursivt med formeln

$S(t)=-t-\sum _{s\subset t}(-1)^{n(t\backslash s)}S([t\backslash s])s,\,\,\ ,S(\bullet )=-\bullet .$

Slaktargruppen definieras som uppsättningen av algebrahomomorfismer φ av H till R med gruppstruktur

$\varphi _{1}\star \varphi _{2}(t)=(\varphi _{1}\otimes \varphi _{2})\Delta (t).$

Det omvända i slaktargruppen ges av

$\varphi ^{-1}(t)=\varphi (St)$

och identiteten av enheten ε.

Genom att använda komplexa koefficienter i konstruktionen av Hopf-algebra för rotade träd får man den komplexa Hopf-algebra för rotade träd. Dess C -värde karaktärer bildar en grupp som kallas den komplexa slaktargruppen G _C . Den komplexa slaktargruppen G _C är en oändligt dimensionell komplex Lie-grupp som framträder som en leksaksmodell i § Renormalisering av kvantfältsteorier.

Slaktarserie och Runge–Kutta-metoden

Den icke-linjära ordinära differentialekvationen

${dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,\,x (0)=x_{0},$

kan lösas ungefär med Runge–Kutta-metoden . Detta iterativa schema kräver en m x m matris

$A=(a_{ij})$

och en vektor

$b=(b_{i})$

med m komponenter.

Schemat definierar vektorer xn genom att först hitta en lösning X ₁ , ... _, X _m av

$X_{i}=x_{n-1}+h\summa _{j=1}^{m} a_{ij}f(X_{j})$

och sedan inställning

$x_{n}=x_{n-1}+h\sum _{j=1}^{m}b_{j}f(x_{j}).$

Butcher (1963) visade att lösningen av motsvarande vanliga differentialekvationer

${ \displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+s\summa _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j}(s)),\,\,\,x (s)=x_{0}+s\summa _{j=1}^{m}b_{j}f(X_{j}(s))}$

har kraftseriens expansion

$X_{i}(s)=x_{0}+\summa _{t}{s^{|t|} \över |t|!}\alpha (t )t!\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\varphi _{j}(t)\delta _{t}(0),\,\,\,\,x(s) =x_{0}+\summa _{t}{s^{|t|} \över |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),$

där φ _j och φ bestäms rekursivt av

$\varphi _{j}(\bullet )=1.\,\,\,\varphi _{i}([t_{1},\cdots ,t_{k}])=\ summa _{j_{1},\dots ,j_{k}}a_{ij_{1}}\dots a_{ij_{k}}\varphi _{j_{1}}(t_{1})\dots \ varphi _{j_{k}}(t_{k})$

och

$\varphi (t)=\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(t).$

Power-serierna ovan kallas för B-serier eller Butcher-serier . Motsvarande uppgift φ är en del av slaktargruppen. Den homomorfism som motsvarar det faktiska flödet har

$\Phi (t)={1 \över t!}.$

Butcher visade att Runge–Kutta-metoden ger en n: te ordningens approximation av det faktiska flödet förutsatt att φ och Φ överensstämmer med alla träd med n noder eller mindre. Dessutom Butcher (1972) att homomorfismerna definierade av Runge–Kutta-metoden bildar en tät undergrupp av Butchergruppen: i själva verket visade han att, givet en homomorfism φ', finns det en Runge–Kutta-homomorfism φ som överensstämmer med φ' att beställa n ; och att om de ges homomorfer φ och φ' som motsvarar Runge–Kutta-data ( A , b ) och ( A' , b' ), produktens homomorfism $\varphi \star \varphi ^{\prime }$ motsvarar data

${\begin{pmatrix}A&0\\0&A^{\prime }\\\end{pmatrix}},\,\,(b,b^{\prime }).$

Hairer & Wanner (1974) bevisade att Butcher-gruppen agerar naturligt på funktionerna f . Sannerligen inställning

$\varphi \circ f=1+\summa _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),$

de bevisade det

$\varphi _{1}\circ (\varphi _{2}\circ f)=(\varphi _{1}\star \varphi _{2})\circ f.$

Lögnalgebra

Connes & Kreimer (1998) visade att associerad med slaktargruppen G är en oändlig dimensionell Lie-algebra. Existensen av denna Lie-algebra förutsägs av en teorem av Milnor & Moore (1965) : kommutativiteten och den naturliga graderingen på H antyder att den graderade dubbla H * kan identifieras med den universella omslutande algebra för en Lie-algebra ${ \mathfrak {g}}$ . Connes och Kreimer identifierar uttryckligen ${\mathfrak {g}}$ med ett utrymme av härledningar θ av H till R , dvs. linjära kartor så att

$\theta (ab)=\varepsilon (a)\theta (b)+\theta (a)\ varepsilon (b),$

det formella tangentrummet för G vid identiteten ε. Detta bildar en Lie-algebra med Lie-parentes

$[\theta _{1},\theta _{2}](t)=(\theta _{1}\otimes \theta _{2}-\theta _{2}\otimes \theta _{ 1})\Delta (t).$

${\mathfrak {g}}$ genereras av härledningarna θ _t definierade av

$\theta _{t}(t^{\prime })=\delta _{tt^{\prime }},$

för varje rotat träd t .

Den oändligt dimensionella Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ från Connes & Kreimer (1998) och Lie-algebra L(G) för Butcher-gruppen som en oändlig-dimensionell Lie-grupp är inte samma sak. Lie-algebra L(G) kan identifieras med Lie-algebra för alla härledningar i dualen av H (dvs. rymden för alla linjära kartor från H till R ), medan ${\mathfrak {g}}$ är erhållits från den graderade dual. Därför ${\mathfrak {g}}$ vara en (strikt mindre) Lie-subalgebra av L(G) .

Renormalisering

Connes & Kreimer (1998) gav en allmän kontext för att använda Hopfs algebraiska metoder för att ge en enkel matematisk formulering av renormalisering i kvantfältteori . Renormalisering tolkades som Birkhoff-faktorisering av slingor i karaktärsgruppen för den associerade Hopf-algebra. De modeller som övervägdes av Kreimer (1999) hade Hopf algebra H och karaktärsgruppen G , slaktargruppen. Broder (2000) har redogjort för denna renormaliseringsprocess i termer av Runge–Kutta-data.

I denna förenklade inställning har en renormaliserbar modell två delar av indata:

• en uppsättning Feynman-regler som ges av en algebrahomomorfism Φ av H till algebra V i Laurent-serien i z med poler av ändlig ordning;
• ett renormaliseringsschema som ges av en linjär operator R på V så att R uppfyller Rota-Baxter-identiteten

$R(fg)+R(f)R(g)=R (fR(g))+R(R(f)g)$

och bilden av R – id ligger i algebra V ₊ för potensserier i z .

Observera att R uppfyller Rota–Baxter-identiteten om och endast om id – R gör det. Ett viktigt exempel är det minimala subtraktionsschemat

$\displaystyle R(\sum _{n}a_{n}z^{n})=\summa _{n<0}a_{n}z^{n}.$

Dessutom finns det en projektion P av H på det förstärkningsideal ker ε som ges av

$\displaystyle P(x)=x-\varepsilon (x)1.$

För att definiera de renormaliserade Feynman-reglerna, notera att antipoden S uppfyller

$m\circ (S\otimes {\rm {id}})\Delta (x)=\varepsilon (x)1$

så att

$S=-m\circ (S\otimes P)\Delta ,$

De renormaliserade Feynman-reglerna ges av en homomorfism $\Phi _{S}^{R}$ av H till V erhållen genom att vrida homomorfismen Φ • S. Homomorfismen $\Phi _ {S}^{R}$ är unikt specificerad av

$\Phi _{S}^{R}=-m(S\otimes \Phi _{S}^{R}\circ P)\Delta .$

På grund av den exakta formen av Δ ger detta en rekursiv formel för $\Phi _{S}^{R}$ .

För det minimala subtraktionsschemat kan denna process tolkas i termer av Birkhoff-faktorisering i den komplexa slaktargruppen. Φ kan betraktas som en karta γ av enhetscirkeln till komplexiseringen G _C av G (mappar till C istället för R ). Som sådan har den en Birkhoff-faktorisering

$\displaystyle \gamma (z)=\gamma _{-}(z)^{-1}\gamma _{+}( z),$

där γ ₊ är holomorft på insidan av den slutna enhetsskivan och γ _– är holomorft på dess komplement i Riemann-sfären C $\cup \{\infty \}$ med γ _– (∞) = 1 Slingan y ₊ motsvarar den renormaliserade homomorfismen. Utvärderingen vid z = 0 av γ ₊ eller den renormaliserade homomorfismen ger de dimensionellt reguljära värdena för varje rotat träd.

Till exempel beror Feynman-reglerna på ytterligare parameter μ, en "massaenhet". Connes & Kreimer (2001) visade det

$\partial _{\mu }\gamma _{\mu -}=0,$

så att γ _μ– är oberoende av μ.

Den komplexa slaktargruppen kommer med en naturlig enparametergrupp λ _w av automorfismer, dubbelt mot den på H

$\lambda _{w}(t)=w^{|t|}t$

för w ≠ 0 i C.

Slingorna γ _μ och λ _w · γ _μ har samma negativa del och, för t real,

$\displaystyle F_{t}=\lim _{z=0}\gamma _{-}(z) \lambda _{tz}(\gamma _{-}(z)^{-1})$

definierar en enparameters undergrupp av den komplexa slaktargruppen G _C som kallas renormaliseringsgruppflödet (RG).

Dess infinitesimala generator β är ett element i Lie-algebra av G _C och definieras av

$\beta =\partial _{t}F_{t}|_{t=0}.$

Det kallas modellens betafunktion .

I varje given modell finns det vanligtvis ett ändligt dimensionellt utrymme av komplexa kopplingskonstanter. Den komplexa slaktargruppen agerar genom diffeomorfismer på detta utrymme. I synnerhet definierar renormaliseringsgruppen ett flöde på utrymmet av kopplingskonstanter, där betafunktionen ger motsvarande vektorfält.

Mer allmänna modeller inom kvantfältteorin kräver att rotade träd ersätts av Feynman-diagram med hörn dekorerade med symboler från en finit indexuppsättning. Connes och Kreimer har också definierat Hopf-algebror i denna inställning och har visat hur de kan användas för att systematisera standardberäkningar i renormaliseringsteori.

Exempel

Kreimer (2007) har gett en "leksaksmodell" som involverar dimensionell regularisering för H och algebra V . Om c är ett positivt heltal och q _μ = q / μ är en dimensionslös konstant, kan Feynman-regler definieras rekursivt av

$\displaystyle \Phi ([t_{1},\dots ,t_{n}])=\int { \Phi (t_{1})\cdots \Phi (t_{n}) \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}(|y|^{2})^{- z({c \over 2}-1)}\,d^{D}y,$

där z = 1 – D /2 ​​är regulariseringsparametern. Dessa integraler kan beräknas explicit i termer av gammafunktionen med hjälp av formeln

$\displaystyle \int {(|y|^{2})^{-u} \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}\,d^{D}y =\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-zu}{\Gamma (-u+D/2)\Gamma (1+uD/2) \över \Gamma ( D/2)}.$

Särskilt

$\displaystyle \Phi (\bullet )=\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-zc/2}{\Gamma (1+cz) \over cz} .$

Om man tar renormaliseringsschemat R med minimal subtraktion, är de renormaliserade storheterna $\Phi _{S}^{R}(t)$ polynom i $\log q_{ \mu }^{2}$ när den utvärderas till z = 0.

Anteckningar

•   Bergbauer, Christoph; Kreimer, Dirk (2005), "The Hopf Algebra of Rooted Trees in Epstein-Glaser Renormalization", Annales Henri Poincaré , 6 (2): 343–367, arXiv : hep-th/0403207 , Bibcode : 2005AnHP....6 ..343B , doi : 10.1007/s00023-005-0210-3 , S2CID 16100842
• Boutet de Monvel, Louis (2003), "Algèbre de Hopf des diagrammes de Feynman, renormalization et factorization de Wiener-Hopf (d'après A. Connes et D. Kreimer). [Hopf-algebra för Feynman-diagram, renormalisering och Wiener-Hopf" faktorisering (efter A. Connes och D. Kreimer)]" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki , 290 : 149–165
•   Broder, Christian (2000), "Runge–Kutta-metoder och renormalisering", Eur. Phys. J. C , 12 (3): 521–534, arXiv : hep-th/9904014 , Bibcode : 2000EPJC...12..521B , doi : 10.1007/s100529900235 , S539ID 9016 , S539ID 9016
•   Bogfjellmo, G.; Schmeding, A. (2015), "The Lie group structure of the Butcher group", Foundations of Computational Mathematics , 17 (1): 127–159, arXiv : 1410.4761 , doi : 10.1007/s10208-015-9285-5ID , S 27789611
•   Broder, Christian (2004), "Trees, Renormalization and Differential Equations", BIT Numerical Mathematics , 44 (3): 425–438, CiteSeerX 10.1.1.180.7535 , doi : 10.1023/B:BIccTN.800 9.700.900.900.900.900.900 . 77686  
• Butcher, JC (1963), "Koefficienter för studiet av Runge-Kutta integrationsprocesser", J. Austral. Matematik. Soc. , 3 (2): 185–201, doi : 10.1017/S1446788700027932
•   Butcher, JC (1972), "En algebraisk teori om integrationsmetoder", Math. Comput. , 26 (117): 79–106, doi : 10.2307/2004720 , JSTOR 2004720
•    Butcher, John C. (2008), Numeriska metoder för vanliga differentialekvationer (2:a upplagan), John Wiley & Sons Ltd., ISBN 978-0-470-72335-7 , MR 2401398
•   Butcher, JC (2009), "Träd och numeriska metoder för vanliga differentialekvationer", Numeriska algoritmer , 53 (2–3): 153–170, doi : 10.1007/s11075-009-9285-0 , S26619 4319
• Cayley, Arthur (1857), "Om teorin om analytiska former som kallas träd" , Philosophical Magazine , XIII : 172–176 (även i volym 3 av Cayleys samlade verk, sidorna 242–246)
•   Connes, Alain ; Kreimer, Dirk (1998), "Hopf Algebras, Renormalization and Noncommutative Geometry" (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 199 (1): 203–242, arXiv : hep-th/9808042 , Bibcode : 199018CMaPh.Ph.Ph.Ph.C . , doi : 10.1007/s002200050499 , S2CID 10371164
•   Connes, Alain ; Kreimer, Dirk (1999), "Lessons from quantum field theory: Hopf algebras and spacetime geometries", Letters in Mathematical Physics , 48 : 85–96, doi : 10.1023/A:1007523409317 , S28CID 36178 1617
•   Connes, Alain ; Kreimer, Dirk (2000), "Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. I. The Hopf algebra structure of graphs and the main theorem" ( PDF) , Commun. Matematik. Phys. , 210 (1): 249–273, arXiv : hep-th/9912092 , Bibcode : 2000CMaPh.210..249C , doi : 10.1007/s002200050779 , S44CID 8717 747
•   Connes, Alain ; Kreimer, Dirk (2001), "Renormalisation in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. II. The β-function, diffeomorphisms and the renormalization group" ( PDF) , Commun. Matematik. Phys. , 216 (1): 215–241, arXiv : hep-th/0003188 , Bibcode : 2001CMaPh.216..215C , doi : 10.1007/PL00005547 , S2CID 373499
•   Gracia-Bondía, José; Várilly, Joseph C.; Figueroa, Héctor (2000), Elements of noncommutative geometry , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4124-5 , kapitel 14.
• Grossman, R.; Larson, R. (1989), "Hopf algebraic structures of families of trees", Journal of Algebra , 26 : 184–210, doi : 10.1016/0021-8693(89)90328-1
•   Hairer, E.; Wanner, G. (1974), "On the Butcher group and general multi-value methods", Computing , 13 : 1–15, doi : 10.1007/BF02268387 , S2CID 21392760
•   Kreimer, Dirk (1998), "On the Hopf algebra structure of perturbative quantum field theories", Adv. Theor. Matematik. Phys. , 2 (2): 303–334, arXiv : q-alg/9707029 , Bibcode : 1997q.alg.....7029K , doi : 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a4 , S28CID 27017
•   Kreimer, Dirk (1999), "Chens itererade integral representerar operatörens produktexpansion", Adv. Theor. Matematik. Phys. , 3 (3): 627–670, arXiv : hep-th/9901099 , Bibcode : 1999hep.th....1099K , doi : 10.4310/ATMP.1999.v3.n3.a7 , S2CID 2174
• Kreimer, Dirk (2007), Factorization in Quantum Field Theory: An Exercise in Hopf Algebras and Local Singularities , Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II, Springer, s. 715–736, arXiv : hep-th/0306020 , Bibcode : 2003hep.th....6020K
•    Milnor, John Willard ; Moore, John C. (1965), "On the structure of Hopf algebras" , Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 211–264, doi : 10.2307/1970615 , JSTOR 1970615 , MR 0174052
• John C. Butcher: "B-Series: Algebraic Analysis of Numerical Methods", Springer（SSCM, volym 55), ISBN 978-3030709556 (april 2021).