Rota–Baxter algebra

I matematik är en Rota–Baxter-algebra en associativ algebra , tillsammans med en speciell linjär karta R som tillfredsställer Rota–Baxter-identiteten . Det dök upp först i den amerikanske matematikern Glen E. Baxters arbete inom sannolikhetsteorin . Baxters arbete utforskades ytterligare från olika vinklar av Gian-Carlo Rota , Pierre Cartier och Frederic V. Atkinson. Baxters härledning av denna identitet som senare bar hans namn härrörde från några av de grundläggande resultaten av den berömda probabilisten Frank Spitzer inom random walk- teorin.

På 1980-talet återupptäcktes Rota-Baxter-operatorn med vikt 0 i sammanhanget av Lie-algebras som operatorformen för den klassiska Yang–Baxter-ekvationen , uppkallad efter de välkända fysikerna Chen-Ning Yang och Rodney Baxter .

Studiet av Rota–Baxter-algebror fick en renässans detta århundrade, som började med flera utvecklingar, i den algebraiska metoden för renormalisering av störande kvantfältteori, dendriformalgebror, associativ analog till den klassiska Yang–Baxter-ekvationen och blandbara blandningsproduktkonstruktioner.

Definition och första egenskaper

Låt k vara en kommutativ ring och låt $\lambda$ ges. En linjär operator R på en k -algebra A kallas en Rota–Baxter-operator med vikt $\lambda$ om den uppfyller Rota–Baxter-relationen för vikt $\lambda$ :

$R(x)R(y)=R(R(x) )y)+R(xR(y))+\lambda R(xy)$

för alla $x,y\in A$ . Sedan kallas paret $(A,R)$ eller helt enkelt A en Rota–Baxter-algebra med vikten $\lambda$ . I viss litteratur används ${\displaystyle \theta =-\lambda } i vilket fall ovanstående ekvation blir$

$R(x)R(y)+\theta R( xy)=R(R(x)y)+R(xR(y)),$

kallas Rota-Baxter viktekvationen $\theta$ . Termerna Baxter operator algebra och Baxter algebra används också.

Låt $R$ vara en Rota–Baxter med vikten $\lambda$ . Då $-\lambda Id-R$ också en Rota–Baxter-operator av vikt $\lambda$ . Vidare, för $\mu$ i k , är $\mu R$ en Rota-Baxter-operator med vikten $\mu \lambda$ .

Exempel

Integrering av delar

Integration av delar är ett exempel på en Rota–Baxter-algebra med vikten 0. Låt $C(R)$ vara algebra för kontinuerliga funktioner från den reella linjen till den reella linjen. Låt : $f(x)\in C(R)$ vara en kontinuerlig funktion. Definiera integration som Rota–Baxter-operatören

$I(f)(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt\;.$

Låt G(x) = I(g)(x) och F(x) = I(f)(x) . Sedan kan formeln för integration för delar skrivas i termer av dessa variabler som

$F(x)G(x)=\int _{0}^{x}f(t)G(t)dt+\int _{0}^{x}F(t)g(t)dt \;.$

Med andra ord

$I( f)(x)I(g)(x)=I(fI(g)(t))(x)+I(I(f)(t)g)(x)\;,$

som visar att I är en Rota–Baxter-algebra med vikten 0.

Spitzers identitet

Spitzer-identiteten som dök upp är uppkallad efter den amerikanske matematikern Frank Spitzer . Det betraktas som en anmärkningsvärd språngbräda i teorin om summor av oberoende slumpvariabler i fluktuationsteorin om sannolikhet. Det kan naturligtvis förstås i termer av Rota–Baxter-operatörer.

externa länkar

• Li Guo. VAD ÄR...en Rota-Baxter Algebra? Meddelanden från AMS, december 2009, volym 56, nummer 11