Bernoulli polynom av det andra slaget

Bernoulli- polynomen av det andra slaget ψ _n ( x ) , även kända som Fontana-Bessel-polynomen , är polynomen som definieras av följande genererande funktion:

${\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\summa _{n=0}^{\infty }z^{n} \psi _{n}(x),\qquad |z|<1.$

De första fem polynomen är:

${\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{0}(x)=1\\[2mm] \displaystyle \psi _{1}(x)=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{2}(x)={\frac {1}{2}} x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{3}(x)={\frac {1}{6}}x^{3}-{ \frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{4}(x)={\frac {1}{24 }}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}} \end{array}}$

Vissa författare definierar dessa polynom något annorlunda

${\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {z ^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,$

så att

$\psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!$

och kan också använda en annan notation för dem (den mest använda alternativa notationen är b _n ( x ) ).

Bernoulli-polynomen av det andra slaget studerades till stor del av den ungerske matematikern Charles Jordan, men deras historia kan också spåras tillbaka till de mycket tidigare verken.

Integral representationer

Bernoulli-polynomen av det andra slaget kan representeras via dessa integraler

$\psi _{n}(x)=\int \limits _{x}^ {x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int \limits _{0}^{1}{\binom {x+u}{n}}\,du$

såväl som

${\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^ {n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z )^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\ ,\\[3mm]\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{ +\infty }{\frac {\pi \cos \pi xv\sin \pi x}{\,(1+e^{v})^{n}}}\cdot {\frac {e^{v( x+1)}}{v^{2}+\pi ^{2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{array}}$

Dessa polynom är därför upp till en konstant, antiderivatan av binomialkoefficienten och även den av fallande faktorial .

Explicit formel

För ett godtyckligt n kan dessa polynom beräknas explicit via följande summeringsformel

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\summa _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+ 1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots$

där s ( n , l ) är de förtecknade Stirlingtalen av det första slaget och G _n är Gregory-koefficienterna .

Formel för återfall

Bernoulli-polynomen av det andra slaget uppfyller återfallsrelationen

$\psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{ n-1}(x)$

eller motsvarande

$\Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)$

Den upprepade skillnaden producerar

$\Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{nm}(x)$

Symmetriegenskap

Symmetrins huvudegenskap lyder

$\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n- 1+x)=(-1)^{n}\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n-1-x)$

Ytterligare några egenskaper och särskilda värden

Vissa egenskaper och speciella värden för dessa polynom inkluderar

${\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(0)=G_{n }\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(-1)=(-1 )^{n+1}\summa _{m=0}^{n}|G_{m}|=(-1)^{n}C_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n }(n-2)=-|G_{n}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(n-1)=(-1)^{n}\psi _{n}(-1 )=1-\summa _{m=1}^{n}|G_{m}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm] \displaystyle \psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1 }(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{array}}$

där C _n är Cauchy-talen av det andra slaget och M _n är de centrala skillnadskoefficienterna .

Expansion till en Newton-serie

Utvidgningen av Bernoulli-polynomen av det andra slaget till en Newton-serie lyder

$\psi _{n}(x)=G_{0 }{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_ {n}$

Vissa serier som involverar Bernoulli-polynomen av det andra slaget

Digammafunktionen Ψ( x ) kan utökas till en serie med Bernoulli-polynomen av det andra slaget på följande sätt

$\Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1 )^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,$

och följaktligen

$\gamma =-\ln(a+1)- \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1$

och

$\gamma =\sum _{n= 1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\ Stor (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1$

där γ är Eulers konstant . Dessutom har vi också

$\Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\summa _{n=1}^{\infty }{\ frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v) >-a,$

där Γ( x ) är gammafunktionen . Hurwitz- och Riemanns zeta - funktioner kan utökas till dessa polynom enligt följande

$\zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\summa _{n=0}^{\ infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k} }(k+v)^{-s}$

och

$\zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\summa _{n=0}^{\infty }(- 1)^{n}\psi _{n+1}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+ 1)^{-s}$

och även

$\zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\summa _{n=0}^{\ infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k} }(k+2)^{-s}$

Bernoulli-polynomen av det andra slaget är också involverade i följande förhållande

${\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\summa _{n= 0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom { n}{k}}(k+v)^{-s}$

mellan zetafunktionerna, såväl som i olika formler för Stieltjes-konstanter , t.ex

$\gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{ k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}$

och

$\gamma _{m}( v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-va}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\ zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\summa _{n=0}^{\ infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k} }{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}$

som båda är giltiga för $\Re (a)>-1$ och $v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}$ .

Se även

• Bernoulli polynom
• Stirlingpolynom
• Gregorius koefficienter
• Bernoullis siffror
• Skillnadspolynom
• Poly-Bernoulli nummer
• Mittag-Leffler polynom