Skalningsdimension

I teoretisk fysik kännetecknar skalningsdimensionen , eller helt enkelt dimensionen , för en lokal operator i en kvantfältteori operatörens omskalningsegenskaper under rumtidsdilatationer x $displaystyle x\to \lambda x}$ \ . Om kvantfältteorin är skalinvariant , är skalningsdimensioner för operatorer fasta tal, annars är de funktioner av avståndsskalan.

Skalinvariant kvantfältteori

I en skalinvariant kvantfältteori förvärvar per definition varje operator O under en dilatation $x\to \lambda x$ en faktor ${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }} ,$ där $\Delta$ är ett tal som kallas skalningsdimensionen för O . Detta innebär i synnerhet att tvåpunktskorrelationsfunktionen $\langle O(x)O(0)\rangle$ beror på avståndet som ${\displaystyle$ ) . Mer generellt måste korrelationsfunktioner för flera lokala operatorer bero på avstånden på ett sådant sätt att $\langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{- \Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle$

De flesta skalinvarianta teorier är också konformt invarianta , vilket lägger ytterligare begränsningar på korrelationsfunktioner hos lokala operatörer.

Fria fältteorier

Fria teorier är de enklaste skalinvarianta kvantfältsteorierna. I fria teorier gör man en skillnad mellan de elementära operatorerna, som är de fält som förekommer i Lagrangian, och de sammansatta operatorerna som är produkter av de elementära. Skalningsdimensionen för en elementär operator O bestäms av dimensionsanalys från Lagrangian (i fyra rumtidsdimensioner är den 1 för elementära bosoniska fält inklusive vektorpotentialerna, 3/2 för elementära fermioniska fält etc.). Denna skalningsdimension kallas den klassiska dimensionen (begreppen kanonisk dimension och ingenjörsdimension används också). En sammansatt operator som erhålls genom att ta en produkt av två operatorer med dimensionerna $\Delta _{1}$ och $\Delta _{2}$ är en ny operator vars dimension är summan $\Delta _{1}+\Delta _{2}$ .

När interaktioner är aktiverade får skalningsdimensionen en korrigering som kallas den anomala dimensionen (se nedan).

Interagerande fältteorier

Det finns många skala invarianta kvantfältsteorier som inte är fria teorier; dessa kallas interagerande. Skalningsdimensioner för operatorer i sådana teorier får inte avläsas från en Lagrangian ; de är inte heller nödvändigtvis (halv)heltal. Till exempel, i den skala (och konformt) invarianta teorin som beskriver de kritiska punkterna i den tvådimensionella Ising-modellen finns det en operator $\sigma$ vars dimension är 1/8.

Operatörsmultiplikation är subtil i interagerande teorier jämfört med fria teorier. Operatörsproduktexpansionen av två operatorer med dimensionerna $\Delta _{1}$ och $\Delta _{2}$ ger i allmänhet inte en unik operator utan oändligt många operatorer, och deras dimension kommer i allmänhet inte vara lika med $\Delta _{1}+\Delta _{2}$ . I ovanstående tvådimensionella Ising-modellexempel ger operatorprodukten ${\displaystyle \sigma \times \sigma } en operator$$\epsilon$ vars dimension är 1 och inte två gånger dimensionen $\sigma$ .

Icke skalinvariant kvantfältteori

Det finns många kvantfältsteorier som, även om de inte är exakt skalinvarianta, förblir ungefär skalinvarianter över ett långt intervall av avstånd. Sådana kvantfältsteorier kan erhållas genom att lägga till fria fältteorier interaktionstermer med små dimensionslösa kopplingar. Till exempel, i fyra rumtidsdimensioner kan man lägga till kvartsskalära kopplingar, Yukawa-kopplingar eller gauge-kopplingar. Skalningsdimensioner för operatorer i sådana teorier kan uttryckas schematiskt som ${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)} ,$ där $\Delta _{0 }$ är dimensionen när alla kopplingar är nollställda (dvs den klassiska dimensionen), medan $\gamma (g)$ kallas den anomala dimensionen , och uttrycks som en potensserie i kopplingarna tillsammans betecknas som $g$ . En sådan separation av skalningsdimensioner i den klassiska och anomala delen är bara meningsfull när kopplingarna är små, så att $\gamma (g)$ är en liten korrigering.

Generellt sett, på grund av kvantmekaniska effekter, förblir kopplingarna $g$ inte konstanta, utan varierar (i kvantfältteorins jargong , run ) med avståndsskalan enligt deras betafunktion . Därför beror den anomala dimensionen $\gamma (g)$ också på avståndsskalan i sådana teorier. I synnerhet är lokala operatörers korrelationsfunktioner inte längre enkla krafter utan har ett mer komplicerat beroende av avstånden, vanligtvis med logaritmiska korrigeringar.

Det kan hända att utvecklingen av kopplingarna leder till ett värde $g=g_{*}$ där betafunktionen försvinner. Sedan på långa avstånd blir teorin skalinvariant , och de anomala dimensionerna slutar fungera. Ett sådant beteende kallas en infraröd fixpunkt .

I mycket speciella fall kan det hända när kopplingarna och de anomala dimensionerna inte går alls, så att teorin är skalinvariant på alla avstånd och för vilket värde som helst på kopplingen. Till exempel sker detta i den N=4 supersymmetriska Yang–Mills-teorin .