Singular störning

I matematik är ett singular störningsproblem ett problem som innehåller en liten parameter som inte kan approximeras genom att sätta parametervärdet till noll. Mer exakt kan lösningen inte enhetligt approximeras genom en asymptotisk expansion

$\varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,$

som $\varepsilon \to 0$ . Här $\varepsilon$ den lilla parametern för problemet och $\delta _{n}(\varepsilon )$ är en sekvens av funktioner av $\varepsilon$ av ökande ordning, såsom $\delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}$ . Detta i motsats till vanliga störningsproblem, för vilka en enhetlig approximation av denna form kan erhållas. Singulart störda problem kännetecknas i allmänhet av dynamik som verkar på flera skalor. Flera klasser av singulära störningar beskrivs nedan.

Termen "singular perturbation" myntades på 1940-talet av Kurt Otto Friedrichs och Wolfgang R. Wasow .

Analysmetoder

Ett stört problem vars lösning kan approximeras på hela problemdomänen, oavsett om det är rum eller tid, genom en enda asymptotisk expansion har en regelbunden störning . Oftast i applikationer hittas en acceptabel approximation till ett regelbundet stört problem genom att helt enkelt ersätta den lilla parametern $\varepsilon$ med noll överallt i problemsatsen. Detta motsvarar att endast ta den första termen av expansionen, vilket ger en approximation som konvergerar, kanske långsamt, till den sanna lösningen när $\varepsilon$ minskar. Lösningen på ett enskilt stört problem kan inte approximeras på detta sätt: Som framgår av exemplen nedan uppstår en singulär störning i allmänhet när ett problems lilla parameter multiplicerar dess högsta operator. Att därför naivt ta parametern till noll förändrar själva problemets natur. I fallet med differentialekvationer kan randvillkor inte uppfyllas; i algebraiska ekvationer minskas det möjliga antalet lösningar.

Singular störningsteori är ett rikt och pågående utforskningsområde för matematiker, fysiker och andra forskare. Metoderna som används för att ta itu med problem inom detta område är många. De mer grundläggande av dessa inkluderar metoden för matchade asymptotiska expansioner och WKB-approximation för rumsliga problem, och i tid, Poincaré-Lindstedt-metoden , metoden för multipla skalor och periodiskt medelvärde. De numeriska metoderna för att lösa singulära störningsproblem är också mycket populära.

För böcker om singular störning i ODE och PDE, se till exempel Holmes, Introduction to Perturbation Methods , Hinch, Perturbation methods eller Bender och Orszag , Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers .

Exempel på singular störande problem

Vart och ett av exemplen som beskrivs nedan visar hur en naiv störningsanalys, som antar att problemet är regelbundet istället för singular, kommer att misslyckas. Vissa visar hur problemet kan lösas med mer sofistikerade singularmetoder.

Försvinnande koefficienter i vanliga differentialekvationer

Differentialekvationer som innehåller en liten parameter som premultiplicerar termen av högsta ordningen uppvisar vanligtvis gränsskikt, så att lösningen utvecklas i två olika skalor. Tänk till exempel på gränsvärdesproblemet

${\begin{matrix}\varepsilon u^{\ prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1 .\end{matris}}$

Dess lösning när $\varepsilon =0.1$ är den heldragna kurvan som visas nedan. Observera att lösningen ändras snabbt nära ursprunget. Om vi ​​naivt sätter $\varepsilon =0$ , skulle vi få lösningen märkt "yttre" nedan som inte modellerar gränsskiktet, för vilket x är nära noll. För mer information som visar hur man får den enhetligt giltiga approximationen, se metoden för matchade asymptotiska expansioner .

Exempel i tiden

En elektriskt driven robotmanipulator kan ha långsammare mekanisk dynamik och snabbare elektrisk dynamik, och därmed uppvisa två tidsskalor. I sådana fall kan vi dela upp systemet i två delsystem, ett som motsvarar snabbare dynamik och ett annat som motsvarar långsammare dynamik, och sedan designa kontroller för var och en av dem separat. Genom en singulär störningsteknik kan vi göra dessa två delsystem oberoende av varandra och därigenom förenkla kontrollproblemet.

Betrakta en klass av system som beskrivs av följande uppsättning ekvationer:

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1 },x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,$

$\varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}( x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,$

$x_{1}(0)=a_{1},x_ {2}(0)=a_{2},\,$

med $0<\varepsilon \ll 1$ . Den andra ekvationen indikerar att dynamiken för $x_{2}$ är mycket snabbare än den för $x_{1}$ . Ett teorem som beror på Tikhonov säger att med de korrekta förhållandena på systemet kommer det initialt och mycket snabbt att approximera lösningen till ekvationerna

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,$

$f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,$

$x_{1}(0 )=a_{1},\,$

på något tidsintervall och att när $\varepsilon$ minskar mot noll, kommer systemet att närma sig lösningen närmare i samma intervall.

Exempel i rymden

Inom vätskemekanik är egenskaperna hos en lätt viskös vätska dramatiskt olika utanför och inuti ett smalt gränsskikt . Sålunda uppvisar vätskan flera rumsliga skalor.

Reaktionsdiffusionssystem där ett reagens diffunderar mycket långsammare än ett annat kan bilda rumsliga mönster markerade av områden där ett reagens finns, och områden där det inte gör det, med skarpa övergångar mellan dem. Inom ekologi , rovdjur-bytesmodeller som t.ex

$u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,$

$v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,$

där $u$ är bytet och $v$ är rovdjuret, har visats uppvisa sådana mönster.

Algebraiska ekvationer

Tänk på problemet med att hitta alla rötter till polynomet $p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1$ . I gränsen ${\displaystyle \varepsilon \to 0} degenererar$ denna kubik till kvadratiska $1-x^{2}$ med rötter vid $x=\pm 1$ . Ersätter en vanlig störningsserie

$x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\ cdots$

i ekvationen och likställa lika potenser av $\varepsilon$ ger endast korrigeringar till dessa två rötter:

$x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .$

För att hitta den andra roten måste singular störningsanalys användas. Vi måste då ta itu med det faktum att ekvationen urartar till en kvadratisk när vi låter $\varepsilon$ tendera mot noll, i den gränsen rymmer en av rötterna till oändligheten. För att förhindra att denna rot blir osynlig för den störande analysen, måste vi skala om $x$ för att hålla reda på den här flyktroten så att den inte försvinner när det gäller de omskalade variablerna. Vi definierar en omskalad variabel $x={\frac {y}{\varepsilon ^{\nu }}}$ där exponenten $\nu$ kommer att väljas så att vi skalar om bara tillräckligt snabbt så att roten har ett ändligt värde av $y$ i gränsen $\varepsilon$ till noll, men så att den inte kollapsar till noll där de andra två rötterna hamnar . När det gäller $y$ har vi

$y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu - 1}=0.$

Vi kan se att för ${\displaystyle \nu <1} domineras$ y $y^{3}$ av de lägre gradtermerna, medan det vid ${\displaystyle \nu =1$ blir lika dominant som termen $y^{2}$ medan de båda dominerar den återstående termen. Denna punkt där den högsta ordningens term inte längre försvinner i gränsen $\varepsilon$ till noll genom att bli lika dominant för en annan term, kallas signifikant degeneration; detta ger rätt omskalning för att göra den återstående roten synlig. Detta val ger efter

$y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.$

Ersätter störningsserien

$y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_ {2}+\cdots$

avkastning

$y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.$

Vi är då intresserade av roten vid $y_{0}=1$ ; dubbelroten vid $y_{0}=0$ är de två rötter som vi har hittat ovan som kollapsar till noll i gränsen för en oändlig omskalning. Att beräkna de första termerna i serien ger sedan avkastning

$x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .$