Sigma-ideal

Inom matematiken , särskilt måttteori , är ett 𝜎-ideal , eller sigma-ideal , av en sigma-algebra (𝜎, läs "sigma," betyder räknebar i detta sammanhang) en delmängd med vissa önskvärda stängningsegenskaper . Det är en speciell typ av ideal . Dess vanligaste tillämpning är i sannolikhetsteorin .

Låt $(X,\Sigma )$ vara ett mätbart utrymme (vilket betyder $\Sigma$ är en 𝜎-algebra av delmängder av $X$ ). En delmängd $N$ av $\Sigma$ är en 𝜎-ideal om följande egenskaper är uppfyllda:

1. $\varnothing \in N$ ;
2. När $A\in N$ och $B\in \Sigma$ så innebär $B\subseteq A$$B\in N$ ;
3. Om ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N} så$ är ${\textstyle \bigcup _{n\i \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

Kortfattat måste ett sigma-ideal innehålla den tomma mängden och innehålla delmängder och räkningsbara föreningar av dess element. Konceptet med 𝜎-ideal är dubbelt mot det med ett uträkneligt komplett (𝜎-) filter .

Om ett mått $\mu$ ges på $(X,\Sigma ),$ mängden $\mu$ - försumbara mängder ( $S\in \Sigma$ så att $\mu (S)=0$ ) är ett 𝜎-ideal.

Begreppet kan generaliseras till förbeställningar $(P,\leq ,0)$ med ett bottenelement $0$ enligt följande: $I$ är en 𝜎-ideal av $P$ precis när

(i') $0\in I,$

(ii') $x\leq y{\text{ och }}y\in I$ innebär $x\in I,$ och

(iii') givet en sekvens $x_{1},x_{2},\ldots \in I,$ finns det några $y\in I$ så att $x_{n}\leq y$ för varje $y.$

Således innehåller $I$ bottenelementet, är nedåtstängd och uppfyller en räknebar analog av egenskapen att vara uppåtriktad .

En 𝜎-ideal för en mängd $X$ är en 𝜎-ideal för en mängd av $X.$ Det vill säga, när ingen 𝜎-algebra anges, så tar man helt enkelt den underliggande mängden fulla potenser. Till exempel är de magra delmängderna av ett topologiskt utrymme de i 𝜎-idealet som genereras av samlingen av slutna delmängder med tomt inre.

Se även

• δ -ring – Ring stängd under räknebara korsningar
• Mängdfält – Algebraiskt begrepp inom måttteori, även kallad en algebra av mängder
• Gå med (sigma algebra) – Algebrisk struktur för inställd algebra Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• 𝜆-system (Dynkin-system) – Familj stängd under komplement och otaliga osammanhängande fackföreningar
• Mätbar funktion – Funktion för vilken förbilden av en mätbar uppsättning är mätbar
• π -system – Familj av mängder slutna under skärningspunkten
• Ring of sets – Familj stängd under fackföreningar och anhöriga komplement
• Provutrymme – Uppsättning av alla möjliga resultat eller resultat av ett statistiskt försök eller experiment
• 𝜎-algebra – Algebrisk struktur för mängdalgebra
• 𝜎-ring – Ring stängd under räkningsbara förbund
• Sigma-additivitet – Kartläggningsfunktion Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål

• Bauer, Heinz (2001): Mått- och integrationsteori . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlin, Tyskland.