Artin algebra

I algebra är en Artin-algebra en algebra Λ över en kommutativ Artin-ring R som är en ändligt genererad R -modul. De är uppkallade efter Emil Artin .

Varje Artin-algebra är en Artin-ring.

Dubbla och transponera

Det finns flera olika dualiteter som tar ändligt genererade moduler över Λ till moduler över den motsatta algebra Λ ^op .

• Om M är en vänster A-modul så är den högra A-modulen M ^* definierad att vara Hom _Λ ( M ,Λ).
• Den dubbla D ( M ) för en vänster Λ-modul M är den högra Λ-modulen D ( M ) = Hom _R ( M , J ), där J är den dualiserande modulen för R , lika med summan av de injektiva enveloppen av de icke-isomorfa enkla R -modulerna eller ekvivalent den injektiva enveloppen för R / radR . Dualen av en vänster modul över Λ beror inte på valet av R (upp till isomorfism).
• Transponeringen Tr( M ) för en vänster Λ-modul M är en höger Λ-modul definierad att vara kokkärnan för kartan Q ^* → P ^* , där P → Q → M → 0 är en minimal projektiv presentation av M .

•     Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1997) [1995], Representation theory of Artin algebras , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 36, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-59923-8 , MR 1314422 , Zbl 0834.16001