Schläfli ortoschema

Inom geometrin är ett Schläfli-ortoschema en typ av simplex . Ortoschemat är generaliseringen av den räta triangeln till simplexfigurer av valfritt antal dimensioner. Ortoscheman definieras av en sekvens av kanter ${\displaystyle (v_{0}v_{1}),(v_{1}v_{2}),\dots ,(v_{d-1}v_{d})\,} som är$ ömsesidigt ortogonala . De introducerades av Ludwig Schläfli , som kallade dem ortoschemer och studerade deras volym i euklidiska , hyperboliska och sfäriska geometrier. HSM Coxeter döpte dem senare efter Schläfli. Eftersom räta trianglar utgör grunden för trigonometri , utgör ortoscheman grunden för en trigonometri med n dimensioner, som utvecklats av Schoute som kallade det polygonometri . J.-P. Sydler och Børge Jessen studerade ortoscheman omfattande i samband med Hilberts tredje problem .

Ortoschemes, även kallade path-simplices i den tillämpade matematiklitteraturen , är ett specialfall av en mer allmän klass av simplices studerade av Fiedler , och senare återupptäckt av Coxeter . Dessa förenklingar är de konvexa skroven av träd där alla kanter är inbördes vinkelräta. I ett ortoschema är det underliggande trädet en bana .

I tre dimensioner kallas ett ortoschema också för en birektangulär tetraeder (eftersom dess väg gör två räta vinklar vid hörn som var och en har två räta vinklar) eller en fyrrektangulär tetraeder (eftersom den innehåller fyra räta vinklar).

Egenskaper

En kub dissekerad i sex ortoscheman.

Alla 2-sidor är rätvinkliga trianglar .
Alla aspekter av ett d -dimensionellt ortoschema är ( d − 1)-dimensionellt ortoschema.
De $d$ dihedriska vinklarna som är åtskilda från kanterna på banan har spetsiga vinklar ; de återstående ${\tbinom {d}{2}}$ dihedriska vinklarna är alla räta vinklar .
Mittpunkten på den längsta kanten är mitten av den omskrivna sfären .
Fallet när ${\displaystyle |v_{0}v_{1}|=|v_{1}v_{2}|=\cdots =|v_{d-1}v_{d}|} är$ en generaliserad Hill-tetraeder .
Varje hyperkub i d -dimensionell rymd kan dissekeras till d ! kongruenta ortoscheman. En liknande dissektion i samma antal ortoscheman gäller mer generellt för varje hyperrektangel men i det här fallet kanske ortoscheman inte är kongruenta.
Varje vanlig polytop kan dissekeras radiellt till g kongruenta ortoschemer som möts i dess centrum, där g är ordningen för den reguljära polytopens symmetrigrupp.
I det 3- och 4-dimensionella euklidiska rummet är varje konvex polytop saxkongruent med ett ortoschema.
Varje ortoschema kan delas upp i tre mindre ortoscheman.
I 3-dimensionella hyperboliska och sfäriska utrymmen kan volymen av ortoscheman uttryckas i termer av Lobachevsky-funktionen eller i termer av dilogaritmer .

Dissektion i ortoscheman

Hugo Hadwiger antog 1956 att varje simplex kan dissekeras i ändligt många ortoscheman. Gissningen har bevisats i utrymmen med fem eller färre dimensioner, men förblir olöst i högre dimensioner.

Hadwigers gissning antyder att varje konvex polytop kan dissekeras till ortoscheman.

Karakteristisk simplex för den allmänna regelbundna polytopen

Coxeter identifierar olika ortoscheman som de karakteristiska simplexen för polytoper som de genererar genom reflektioner. Den karakteristiska simplexen är polytopens grundläggande byggsten. Den kan replikeras genom reflektioner eller rotationer för att konstruera polytopen, precis som polytopen kan dissekeras till ett heltal av den. Den karakteristiska simplexen är kiral (den finns i två spegelbildsformer som är olika), och polytopen dissekeras i lika många vänster- och högerhandsinstanser av den. Den har olika kantlängder och ytor, istället för de liksidiga triangelytorna i den vanliga simplexen. När polytopen är regelbunden är dess karakteristiska simplex ett ortoschema, ett simplex med bara rätvinkliga triangelytor.

Varje vanlig polytop har sitt karakteristiska ortoschema som är dess grundläggande region , den oregelbundna simplexen som har exakt samma symmetriegenskaper som den vanliga polytopen men fångar dem alla utan upprepning. För en vanlig k -polytop är Coxeter-Dynkin-diagrammet för det karakteristiska k- ortoschemat k -polytopens diagram utan genereringspunktringen . Den vanliga k- polytopen är uppdelad av sin symmetri ( k -1)-element till g -instanser av dess karakteristiska k -ortoschema som omger dess centrum, där g är ordningen för k -polytopens symmetrigrupp .

Vi fortsätter att beskriva den "enkla indelningen" av en vanlig polytop, med början med det endimensionella fallet. Segmentet 𝚷 ₁ är uppdelat i två lika delar av sitt centrum 𝚶 ₁ . Polygonen 𝚷 ₂ = { p } delas med sina symmetrilinjer i 2 p rätvinkliga trianglar, som förenar centrum 𝚶 ₂ med de enkelt uppdelade sidorna. Polyedern 𝚷 ₃ = { p, q } delas med sina symmetriplan i g fyrrektangulära tetraedrar (se 5.43), som förenar mitten 𝚶 ₃ till de enkelt uppdelade ytorna. Analogt är den allmänna reguljära polytopen 𝚷 _n uppdelad i ett antal kongruenta simplex ([ortoschemes]) som förenar centrum 𝚶 _n till de enkelt uppdelade cellerna.

Se även

3-ortoschema ( tetraeder med rätvinkliga ytor)
4-ortoschema ( 5-celler med rätvinkliga ytor)
Goursat tetraeder
Beställ polytop