Schanuels lemma

Inom matematiken , särskilt inom området algebra som kallas modulteori , tillåter Schanuels lemma , uppkallat efter Stephen Schanuel , en att jämföra hur långt moduler avviker från att vara projektiva . Det är användbart för att definiera Heller-operatören i den stabila kategorin, och för att ge elementära beskrivningar av dimensionsförskjutning .

Påstående

Schanuels lemma är följande uttalande:

Om 0 → K → P → M → 0 och 0 → K′ → P′ → M → 0 är korta exakta sekvenser av R -moduler och P och P′ är projektiva, så är K ⊕ P′ isomorft till K′ ⊕ P .

Bevis

Definiera följande undermodul av P ⊕ P′ , där φ : P → M och φ′ : P′ → M :

$X=\{(p,q)\in P\oplus P':\phi (p)=\phi '(q)\}.$

Kartan π : X → P , där π definieras som projektionen av den första koordinaten av X till P , är surjektiv . Eftersom φ′ är surjektiv, för vilket p som helst i P , kan man hitta ett q i P′ så att φ( p ) = φ′( q ). Detta ger ( p , q ) $\in$ X med π( p , q ) = p . Undersök nu kärna π:

${\begin{aligned}\ker \pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi '(q) )=0\}\\&\cong \ker \phi '\cong K'.\end{aligned}}$

Vi kan dra slutsatsen att det finns en kort exakt sekvens

$0\rightarrow K'\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.$

Eftersom P är projektiv delas denna sekvens , så X ≅ K′ ⊕ P . På liknande sätt kan vi skriva en annan karta π : X → P′ , och samma argument som ovan visar att det finns en annan kort exakt följd

$0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P'\rightarrow 0,$

och så X ≅ P′ ⊕ K . Att kombinera de två ekvivalenserna för X ger det önskade resultatet.

Långa exakta sekvenser

Ovanstående argument kan också generaliseras till långa exakta sekvenser .

Ursprung

Stephen Schanuel upptäckte argumentet i Irving Kaplanskys homologiska algebrakurs vid University of Chicago hösten 1958. Kaplansky skriver:

Tidigt under kursen bildade jag en enstegs projektiv upplösning av en modul, och påpekade att om kärnan var projektiv i en upplösning så var den projektiv i alla. Jag tillade att även om uttalandet var så enkelt och okomplicerat, skulle det dröja ett tag innan vi bevisade det. Steve Schanuel tog till orda och berättade för mig och klassen att det var ganska enkelt, och skissade därefter på vad som har kommit att kallas "Schanuels lemma".