Lista över irreducerbara bröstindex

I den matematiska teorin om linjära algebraiska grupper är ett Tits-index (eller index ) ett objekt som används för att klassificera semisimpla algebraiska grupper definierade över ett basfält k , som inte antas vara algebraiskt stängda . De möjliga irreducerbara indexen klassificerades av Jacques Tits , och denna klassificering återges nedan. (Eftersom varje index är en direkt summa av irreducerbara index, innebär klassificering av alla index att klassificera irreducerbara index.)

Organisation av listan

Ett index kan representeras som ett Dynkin-diagram med vissa hörn dragna nära varandra (punkternas omloppsbana under *-verkan av Galois-gruppen av k ) och med vissa uppsättningar av hörn inringade (banorna för de icke-särskiljda hörn under *-handlingen). Denna representation fångar indexets fullständiga information förutom när det underliggande Dynkin-diagrammet är D4, _{i vilket fall} man måste skilja mellan en åtgärd av den cykliska gruppen C3 eller permutationsgruppen S3 .

Alternativt kan ett index representeras med namnet på det underliggande Dykin-diagrammet tillsammans med ytterligare upphöjda och nedsänkta skrifter, för att förklaras tillfälligt. Denna representation, tillsammans med det märkta Dynkin-diagrammet som beskrivs i föregående stycke, fångar indexets fullständiga information.

Notationen för ett index har formen ^g X
^t _{n , r} , där

• X är bokstaven i det underliggande Dynkin-diagrammet (A, B, C, D, E, F eller G),
• n är antalet hörn i Dynkin-diagrammet,
• r är den relativa rangordningen för motsvarande algebraiska grupp,
• g är ordningen för kvoten för den absoluta Galois-gruppen som verkar troget på Dynkin-diagrammet (så g = 1, 2, 3 eller 6), och
• t är antingen
  • graden av en viss divisionsalgebra (det vill säga kvadratroten av dess dimension) som uppstår vid konstruktionen av den algebraiska gruppen när gruppen är av klassisk typ (A, B, C eller D), i vilket fall t skrivs inom parentes, eller
  • dimensionen av den anisotropa kärnan i den algebraiska gruppen när gruppen är av exceptionell typ (E, F eller G), i vilket fall t skrivs utan parentes.

A _n

¹ A _n

Bild :

Fullständigt namn : ¹ A
^{( d )} _n,r

Villkor : d · ( r + 1) = n + 1, d ≥ 1.

Algebraisk grupp : Den speciella linjära gruppen SLr _{. +1} ( D ) där D är en central divisionsalgebra över k

Specialfält : Över ett ändligt fält, d = 1; över realerna, d = 1 eller 2; över ett p -adiskt fält eller ett talfält är d godtycklig.

² A _n

Bild :

Fullständigt namn : ² A
^{( d )} _n,r

Villkor : d | n + 1, d ≥ 1, 2:a ≤ n + 1.

Algebraisk grupp : Den speciella enhetsgruppen SU _{​​( n +1)/ d} ( D , h ), där D är en central divisionsalgebra av grad d över en separerbar kvadratisk förlängning k' av k , och där h är en icke degenererad hermitisk form av index r relativt den unika icke-triviala k- automorfismen för k' .

Specialfält : Över ett ändligt fält, d = 1 och r = ⌊( n +1)/2⌋; över realerna, d = 1; över ett p -adiskt fält, d = 1 och n = 2 r − 1; över ett talfält d och r godtyckliga.

B _n

Bild :

Fullständigt namn : B _n,r

Villkor : Inga.

Algebraisk grupp : Den speciella ortogonala gruppen SO _{2 n +1} ( k , q ), där q är en kvadratisk form av index r , och defekt 1 om k har egenskap 2.

Specialfält : Över ett ändligt fält, r = n ; över ett p -adiskt fält, r = n eller n − 1; över reals eller ett talfält r godtycklig.

C _n

Bild :

Fullständigt namn : C
^{( d )} _n,r

Villkor : 2 ⁿ | 2n , d > 1 ; n = r om d = 1.

Algebraisk grupp : Den speciella enhetsgruppen SU _{​​2 n / d} ( D , h ), där D är en divisionsalgebra av grad d över k och h är en icke degenererad antihermitisk form i förhållande till en k -linjär involution σ av D (även kallad en "involution av det första slaget") så att fixpunktssubringen D ^σ har dimensionen 1/2 d ( d + 1); eller ekvivalent, när d > 1 och char k ≠ 2, gruppen SU _{​​2 n / d} där D och h är som ovan förutom att h är hermitisk och D har dimensionen 1/2 d ( d − 1). När d = 1 är denna grupp den symboliska gruppen Sp _{2 n} ( k ).

Specialfält : Över ett ändligt fält, d = 1; över de reella eller ett talfält, d = 1 (och r = n ) eller d = 2; över ett p -adiskt fält, d = 1 (och r = n ) eller d = 2, och n = 2 r eller 2 r − 1.

D _n

¹ D _n

Bild :

Fullständigt namn : ¹ D
^{( d )} _n,r

Villkor : d är en potens av 2, d | 2 n , d ≥ 1, rd ≤ n , n ≠ rd + 1.

Algebraisk grupp : Om k har karakteristik 2, samma som för C _n förutom att h är en hermitisk form av diskriminant 1 och index r .

Specialfält : Över ett ändligt fält, d = 1 och n = r ; över realerna, d = 1 och n − r = 2 m , eller d = 2 och n = 2 r ; över ett p -adiskt fält, d = 1 och r = n eller n - 2, eller d = 2 och n = 2 r eller 2 r + 3; över ett talfält, d = 1 och n − r = 2 m , eller d = 2 och n − 2 r = 2 m eller 3.

^2D _n _

Fullständigt namn : ² D
^{( d )} _n,r

Bild :

³ D
²⁸ _4,0

Bild :

⁶ D
²⁸ _4,0

Bild :

³ D
⁹ _4,1

Bild :

⁶ D
⁹ _4,1

Bild :

³ D
² _4,2

Bild :

⁶ D
² _4,2

Bild :

E ₆

¹ E
⁷⁸ _6,0

Bild :

¹ E
²⁸ _6,2

Bild :

¹ E
¹⁶ _6,2

Bild :

¹ E ⁰
_6,6

Bild :

² E
⁷⁸ _6,0

Bild :

² E
³⁵ _6,1

Bild :

² E
²⁹ _6,1

Bild :

² E
^16' _6,2

Bild :

² E
^16" _6,2

Bild :

² E2 _6,4 ^_

Bild :

E ₇

E
¹³³ _7,0

Bild :

E
⁷⁸ _7,1

Bild :

E
⁶⁶ _7,1

Bild :

E
⁴⁸ _7,1

Bild :

E
³¹ _7,2

Bild :

E
²⁸ _7,3

Bild :

E
⁹ _7,4

Bild :

E ⁰
_7,7

Bild :

E ₈

E
²⁴⁸ _8,0

Bild :

E
¹³³ _8,1

Bild :

E
⁹¹ _8,1

Bild :

E
⁷⁸ _8,2

Bild :

E
⁶⁶ _8,2

Bild :

E
²⁸ _8,4

Bild :

E ⁰
_8,8

Bild :

F ₄

F
⁵² _4,0

Bild :

Algebraisk grupp : Automorfismgruppen av en exceptionell enkel Jordanalgebra J som inte innehåller icke-noll nilpotenta element.

F
²¹ _4,1

Bild :

Algebraisk grupp : Automorfismgruppen av en exceptionell enkel Jordanalgebra J som innehåller icke-noll nilpotenta element, varav inte två är oproportionella och ortogonala.

F ⁰
_4,4

Bild :

Algebraisk grupp : Automorfismgruppen av en exceptionell enkel Jordanalgebra J som innehåller icke-proportionella ortogonala nilpotenta element.

G ₂

En grupp av typ G ₂ är alltid automorfismgruppen för en oktonionalgebra .

G
¹⁴ _2,0

Bild :

Algebraisk grupp : automorfismgruppen för en division octonion algebra.

Specialfält : Finns över reals- och sifferfälten; existerar inte över ändliga fält eller ett p -adiskt fält.

G ⁰
_2,2

Bild :

Algebraisk grupp : automorfismgruppen av en delad oktonionalgebra .

Specialfält : Finns över ett ändligt fält, realerna, ett p -adicfält och ett talfält.

Anteckningar

•   Tits, Jacques (1966), "Classification of algebraic semisimple groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 33–62 MR 0224710 _
• Jacobson, Nathan (1939), "Cayley numbers and simple Lie algebras of type G", Duke Mathematical Journal , 5 : 775–783, doi : 10.1215/s0012-7094-39-00562-4
•    Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5 , MR 1642713