Sammanfattning av Grandis serie

Huvudartikel: Grandis serie

Allmänna överväganden

Stabilitet och linjäritet

De formella manipulationer som leder till att 1 − 1 + 1 − 1 + · · · tilldelas ett värde på ¹ ⁄ ₂ inkluderar:

• Lägga till eller subtrahera två serier term för term,
• Multiplicera med en skalär term för term,
• "Skifta" serien utan förändring i summan, och
• Öka summan genom att lägga till en ny term i seriens huvud.

Dessa är alla juridiska manipulationer för summor av konvergenta serier, men 1 − 1 + 1 − 1 + · · · är inte en konvergent serie.

Icke desto mindre finns det många summeringsmetoder som respekterar dessa manipulationer och som tilldelar Grandis serier en "summa". Två av de enklaste metoderna är Cesàro-summering och Abel-summering .

Cesàro summa

Den första rigorösa metoden för att summera divergerande serier publicerades av Ernesto Cesàro 1890. Grundidén liknar Leibniz probabilistiska tillvägagångssätt: i huvudsak är Cesàro-summan för en serie medelvärdet av alla dess delsummor. Formellt beräknar man, för varje n , medelvärdet σ _n av de första n delsummorna, och tar gränsen för dessa Cesàro-medel när n går till oändlighet.

För Grandis serier är sekvensen av aritmetiska medelvärden

1, ¹ ⁄ ₂ , ² ⁄ ₃ , ² ⁄ ₄ , ³ ⁄ ₅ , ³ ⁄ ₆ , ⁴ ⁄ ₇ , ⁴ ⁄ ₈ , …

eller mer suggestivt,

( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₆ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₀ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₄ ), ¹ ⁄ ₂ , …

var

$\sigma _{n}={\frac {1}{2}}$ för jämna n och $\sigma _{n}={ \frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}$ för udda n .

Denna sekvens av aritmetiska medelvärden konvergerar till ¹ ⁄ ₂ , så Cesàro-summan av Σ a _k är ¹ ⁄ ₂ . På motsvarande sätt säger man att Cesàro-gränsen för sekvensen 1, 0, 1, 0, … är ¹ ⁄ ₂ .

Cesàro summan av 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · är ² ⁄ ₃ . Så Cesàro-summan för en serie kan ändras genom att sätta in oändligt många nollor såväl som oändligt många parenteser.

Serien kan också summeras med de mer allmänna bråkmetoderna (C, a).

Abel summa

Abelsummering liknar Eulers försök till definition av summor av divergerande serier, men den undviker Callets och N. Bernoullis invändningar genom att exakt konstruera den funktion som ska användas. Faktum är att Euler troligen menade att begränsa sin definition till maktserier, och i praktiken använde han den nästan uteslutande i en form som nu är känd som Abels metod.

₀₀ Givet en serie a + a ₁ + a ₂ + · · · bildar man en ny serie a + a ₁ x + a ₂ x ² + · · ·. Om den senare serien konvergerar för 0 < x < 1 till en funktion med en gräns då x tenderar till 1, så kallas denna gräns för Abelsumman av den ursprungliga serien, efter Abels sats som garanterar att proceduren är förenlig med vanlig summering. För Grandis serie har man

$A\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}\sum _{n=0}^{\infty }(- x)^{n}=\lim _{x\högerpil 1}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}.$

Relaterad serie

Motsvarande beräkning att Abelsumman av 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · är ² ⁄ ₃ involverar funktionen (1 + x )/(1 + x + x ² ).

Närhelst en serie är Cesàro summerbar, är den också Abel summerbar och har samma summa. Å andra sidan, att ta Cauchy-produkten i Grandis serie med sig själv ger en serie som är Abel summerbar men inte Cesàro summerbar:

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

har Abel _summa ^1⁄4 .

Utspädning

Växlande mellanrum

Att den vanliga Abelsumman av 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · är ² ⁄ ₃ kan också formuleras som (A, λ) summan av den ursprungliga serien 1 − 1 + 1 − 1 + · · · där (λn ₎ = (0, 2, 3, 5, 6, …). Likaså (A, λ) summan av 1 − 1 + 1 − 1 + · · · där (λ _n ) = (0, 1, 3, 4, 6, …) är ¹ ⁄ ₃ .

Exponentiellt avstånd

Summerbarheten av 1 − 1 + 1 − 1 + · · · kan frustreras genom att separera dess termer med exponentiellt längre och längre grupper av nollor. Det enklaste exemplet att beskriva är serien där (−1) ⁿ visas i rangordningen 2 ⁿ :

0 + 1 − 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Den här serien kan inte summeras av Cesaro. Efter varje term som inte är noll, spenderar delsummorna tillräckligt med tid vid antingen 0 eller 1 för att få den genomsnittliga delsumman halvvägs till den punkten från dess tidigare värde. Under intervallet 2 ^{2 m −1} ≤ n ≤ 2 ^{2 m} − 1 efter en (− 1) term, varierar det n :te aritmetiska medelvärdet över intervallet

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\left({\frac {2^$

eller cirka ² ⁄ ₃ till ¹ ⁄ ₃ .

I själva verket är den exponentiellt fördelade serien inte heller Abel summerbar. Dess Abelsumma är gränsen när x närmar sig 1 av funktionen

F ( x ) = 0 + x − x ² + 0 + x ⁴ + 0 + 0 + 0 − x ⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + x ¹⁶ + 0 + · · ·.

Denna funktion uppfyller en funktionell ekvation:

${\begin{array}{rcl}F(x)&=&\displaystyle xx^{2}+x^{4}-x^{8}+\cdots \\[1em]&=&\ displaystil x-\left[(x^{2})-(x^{2})^{2}+(x^{2})^{4}-\cdots \right]\\[1em]&= &\displaystyle xF(x^{2}).\end{array}}$

Denna funktionella ekvation antyder att F ( x ) ungefär oscillerar runt ¹ ⁄ ₂ när x närmar sig 1. För att bevisa att svängningsamplituden inte är noll, hjälper det att separera F i en exakt periodisk och en aperiodisk del:

$F(x)=\Psi (x)+\Phi (x)$

var

$\Phi (x)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n !(1+2^{n})}}\left(\log {\frac {1}{x}}\right)^{n}$

uppfyller samma funktionella ekvation som F . Detta innebär nu att Ψ( x ) = −Ψ( x ² ) = Ψ( x ⁴ ) , så Ψ är en periodisk funktion av loglog(1/ x ). Eftersom dy (s.77) talar om "en annan lösning" och "klart inte konstant", även om han tekniskt sett inte bevisar att F och Φ är olika.</ref> Eftersom Φ-delen har en gräns på ¹ ⁄ ₂ , F svänger också.

Separering av vågar

Givet vilken funktion φ(x) som helst så att φ(0) = 1, och derivatan av φ är integrerbar över (0, +∞), så existerar den generaliserade φ-summan av Grandis serie och är lika med ¹ ⁄ ₂ :

$S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\varphi (\delta k)={\ frac {1}{2}}.$

Cesaro- eller Abelsumman återvinns genom att låta φ vara en triangulär respektive exponentiell funktion. Om φ dessutom antas vara kontinuerligt differentierbar, så kan påståendet bevisas genom att tillämpa medelvärdessatsen och omvandla summan till en integral. I korthet:

${\begin{array}{rcl}S_{\varphi }&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta +\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\summa _{k=0}^{\ infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}. \end{array}}$

Borel summa

Borelsumman för Grandis serie är återigen ¹ ⁄ ₂ , sedan

$1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^ {4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}$

och

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx ={\frac {1}{2}}.$

Serien kan också summeras med generaliserade (B, r) metoder.

Spektral asymmetri

Posterna i Grandis serie kan paras ihop med egenvärdena för en oändlig dimensionell operator på Hilbert-rymden . Genom att ge serien denna tolkning ger upphov till idén om spektral asymmetri , som förekommer allmänt inom fysiken. Värdet som serien summeras till beror på det asymptotiska beteendet hos operatorns egenvärden. Låt därför till exempel $\{\omega _{n}\}$ vara en sekvens av både positiva och negativa egenvärden. Grandis serie motsvarar den formella summan

$\sum _{n}\operatörsnamn {sgn}(\omega _{n})\;$

där $\operatornamn {sgn}(\omega _{n})=\pm 1$ är tecknet på egenvärdet. Serien kan ges konkreta värden genom att beakta olika gränser. Till exempel värmekärnregulatorn till summan

$\lim _{t\to 0}\sum _{n}\operatörsnamn {sgn}(\omega _{n})e^{-t|\omega _{n}|}$

som för många intressanta fall är ändlig för icke-noll t och konvergerar till ett ändligt värde i gränsen.

Metoder som misslyckas

Integralfunktionsmetoden med p _n = exp (− cn ² ) och c > 0.

Momentet konstant metoden med

$d\chi =e^{-k(\log x)^{2}}x^{-1}dx$

och k > 0.

Geometrisk serie

Den geometriska serien i $(x-1)$ ,

${\frac {1}{x}}=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4 }-...$

är konvergent för $|x-1|<1$ . Att formellt ersätta $x=2$ skulle ge

${\frac {1}{2}}=1-1+1-1+1-...$

Dock är $x=2$ utanför konvergensradien, $|x-1|<1$ , så denna slutsats kan inte dras.

Anteckningar

• Bromwich, TJ (1926) [1908]. An Introduction to the Theory of Infinite Series (2e uppl.).
•   Davis, Harry F. (maj 1989). Fourierserier och ortogonala funktioner . Dover. ISBN 978-0-486-65973-2 .
•   Hardy, GH (1949). Divergent serie . Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967 .
•    Kline, Morris (november 1983). "Euler och oändliga serien". Matematiktidningen . 56 (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923 . doi : 10.2307/2690371 . JSTOR 2690371 .
•    Saichev, AI & WA Woyczyński (1996). Distribution i fysikaliska och ingenjörsvetenskapliga vetenskaper, volym 1 . Birkhaüser. ISBN 978-0-8176-3924-2 . LCC QA324.W69 1996 .
•   Smail, Lloyd (1925). Historia och sammanfattning av teorin om summerbara oändliga processer . University of Oregon Press. LCC QA295 .S64 .
• Weidlich, John E. (juni 1950). Summerbarhetsmetoder för divergerande serier . Stanford MS avhandlingar.