Thomsons lampa

Thomsons lampa är ett filosofiskt pussel baserat på oändligheter. Den utarbetades 1954 av den brittiske filosofen James F. Thomson , som använde den för att analysera möjligheten av en superuppgift , som är fullbordandet av ett oändligt antal uppgifter.

Tid	stat
0,000	På
1 000	Av
1 500	På
1,750	Av
1,875	På
...	...
2 000	?

Överväg en lampa med vippströmbrytare . Om du trycker på knappen en gång tänds lampan. Ytterligare ett snärt släcker lampan. Anta nu att det finns en varelse som kan utföra följande uppgift: starta en timer, han tänder lampan. I slutet av en minut stänger han av den. I slutet av ytterligare en halv minut slår han på den igen. I slutet av ytterligare en kvart stänger han av den. Vid nästa åttondels minut slår han på den igen, och han fortsätter så, och trycker på strömbrytaren varje gång efter att ha väntat exakt en halv tid som han väntade innan han snärtade på den tidigare. Summan av denna oändliga serie av tidsintervall är exakt två minuter.

Följande fråga övervägs då: Är lampan tänd eller släckt efter två minuter? Thomson resonerade att denna superuppgift skapar en motsägelse:

Det verkar omöjligt att svara på denna fråga. Den kan inte vara på, eftersom jag aldrig slog på den utan att genast stänga av den. Den kan inte vara avstängd, för jag slog på den i första hand, och därefter stängde jag aldrig av den utan att genast slå på den. Men lampan måste vara antingen på eller av. Detta är en motsägelse.

Matematisk serieanalogi

Frågan är relaterad till beteendet hos Grandis serier , dvs den divergerande oändliga serien

• S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

För jämna värden på n summeras ovanstående ändliga serie till 1; för udda värden summeras den till 0. Med andra ord, eftersom n tar värdena för vart och ett av de icke-negativa heltalen 0, 1, 2, 3, ... i sin tur, genererar serien sekvensen { 1, 0, 1, 0, ...}, som representerar lampans skiftande tillstånd. Sekvensen konvergerar inte eftersom n tenderar mot oändligheten, så inte heller den oändliga serien.

Ett annat sätt att illustrera detta problem är att ordna om serien:

• S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

Den oändliga serien i parentesen är exakt densamma som originalserien S . Detta betyder S = 1 − S vilket innebär S = ¹ ⁄ ₂ . Faktum är att denna manipulation kan motiveras rigoröst: det finns generaliserade definitioner för summan av serier som tilldelar Grandis serie värdet ¹ ⁄ ₂ .

Ett av Thomsons mål i hans ursprungliga uppsats från 1954 är att skilja superuppgifter från deras serieanalogier. Han skriver om lampan och Grandis serie,

Sedan är frågan om lampan är på eller av... är frågan: Vad är summan av den oändliga divergerande sekvensen

+1, −1, +1, ...?

Nu säger matematiker att denna sekvens har en summa; de säger att summan _är ^1⁄2 . Och detta svar hjälper oss inte, eftersom vi inte fäster någon mening här i att säga att lampan är halvt påslagen. Jag uppfattar detta som att det inte finns någon etablerad metod för att bestämma vad som görs när en superuppgift är klar. … Vi kan inte förväntas ta upp denna idé, bara för att vi har idén om att en eller flera uppgifter har utförts och för att vi är bekanta med transfinita tal .

Senare hävdar han att ens divergensen i en serie inte ger information om dess superuppgift: "Omöjligheten av en superuppgift beror inte alls på om någon vagt-upplevd-att-associeras aritmetisk sekvens är konvergent eller divergent ."

Se även

• Lista över paradoxer
• Ross–Littlewood paradox
• Zenons paradoxer
• Zeno maskin

Anteckningar

•   Allen, Benjamin William (2008). Zeno, Aristoteles, kapplöpningsbanan och Achilles: En historisk och filosofisk undersökning . New Brunswick, NJ: Rutgers, State University of New Jersey. s. 209–210. ISBN 9781109058437 .
•   Benacerraf, Paul (1962). "Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eletics". The Journal of Philosophy . 59 (24): 765–784. doi : 10.2307/2023500 . JSTOR 2023500 .
•   Huggett, Nick (2010). Everywhere and Everywhen : Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy . Oxford University Press. s. 22–23. ISBN 9780199702114 .
•   Thomson, James F. (oktober 1954). "Tasks and Super-Tasks". Analys . Analysis, vol. 15, nr 1. 15 (1): 1–13. doi : 10.2307/3326643 . JSTOR 3326643 .
• Earman, John och Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. I Benacerraf and his Critics , Adam Morton och Stephen P. Stich (Eds.), sid. 231-261.