SAMV (algoritm)

SAMV ( iterative sparse asymptotic minimum varians ) är en parameterfri superupplösningsalgoritm för det linjära inversa problemet vid spektral uppskattning , ankomstriktning (DOA) uppskattning och tomografisk rekonstruktion med tillämpningar inom signalbehandling , medicinsk bildbehandling och fjärranalys . Namnet myntades 2013 för att betona dess grund på kriteriet asymptotiskt minimal varians (AMV). Det är ett kraftfullt verktyg för att återställa både amplitud- och frekvensegenskaperna för flera högkorrelerade källor i utmanande miljöer (t.ex. begränsat antal ögonblicksbilder och lågt signal-brusförhållande) . Tillämpningar inkluderar radar med syntetisk bländaröppning , datortomografi och magnetisk resonanstomografi (MRI) .

Definition

Formuleringen av SAMV-algoritmen ges som ett omvänt problem i samband med DOA-uppskattning. Antag att en $M$ -element uniform linear array (ULA) tar emot $K$ smalbandssignaler som emitteras från källor belägna på platserna $\mathbf {\ theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ . Sensorerna i ULA:n samlar $N$ ögonblicksbilder över en specifik tid. De $M\times 1$ dimensionella ögonblicksbildsvektorerna är

$\mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\ mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N$

där $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]$ är styrmatrisen , ${\displaystyle {\bf {x}}(n)= [{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}} innehåller källvågformerna$ och ${ \displaystyle {\bf {e}}(n)}$ är brustermen. Antag att ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e }}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}} ,$ där $\delta _{n,{\bar {n}}}$ är Dirac delta och det är lika med 1 endast om $n={\bar {n}}$ och 0 annars. Antag också att ${\bf {e}}(n)$ och ${\bf {x}}(n)$ är oberoende, och att ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\ stapel {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}} , där P$ = $displaystyle {\bf {P}}=\operatörsnamn {Diag} ({p_{1},\ldots,p_{K}})}$ . Låt ${\bf {p}}$ vara en vektor som innehåller de okända signaleffekterna och brusvariansen, ${\bf {p}}= [p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}$ .

Kovariansmatrisen för ${\bf {y}}(n)$ som innehåller all information om ${\boldsymbol {\bf {p}}$ } är

${\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.$

Denna kovariansmatris kan traditionellt uppskattas av kovariansmatrisen ${\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^ {H}/N$ där ${\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\ bf {y}}(N)]$ . Efter att ha tillämpat vektoriseringsoperatorn på matrisen ${\bf {R}}$ , den erhållna vektorn ${\bf {r}}({\boldsymbol {\ bf {p}}})=\operatörsnamn {vec} ({\bf {R}})$ är linjärt relaterad till den okända parametern ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ som

${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatörsnamn {vec} ({\bf {R}} )={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ,

där ${\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{ K+1}]$ , ${\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{ 1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]$ , ${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{ k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}} , k = 1 , … , K {$ \ $, K}$ , och låt ${\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatörsnamn {vec} ({\bf {I}} )$ där $\otimes$ är Kronecker-produkten.

SAMV algoritm

För att uppskatta parametern ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ från statistiken ${\bf {r}}_{N}$ utvecklar vi en serie iterativa SAMV-metoder baserade på det asymptotiskt minimala varianskriteriet. Från, kovariansmatrisen $\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }$ för en godtycklig konsekvent skattare av ${\boldsymbol {p}}$ baserat på andra ordningens statistik ${\bf {r}}_{N}$ begränsas av den reella symmetriska positiva definitiva matrisen

$\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatörsnamn {Alg} }\geq [{\bf {S }}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},$

där ${\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}}) /{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}$ . Dessutom uppnås denna nedre gräns av kovariansmatrisen för den asymptotiska fördelningen av ${\hat {\bf {p}}}$ som erhålls genom att minimera,

${\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),$

där $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\ bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$

Därför kan uppskattningen av ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ erhållas iterativt.

{ ${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}} och$ σ $\hat {\ sigma }}}$ som minimerar $f({\boldsymbol {p}})$ kan beräknas enligt följande. Antag ${\hat {p}}_{k}^{(i)}$ och ${\hat {\sigma }}^{(i) }$ har approximerats till en viss grad i $i$ iterationen, kan de förfinas vid $(i+1)$ iterationen genom,

${\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{- 1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i )}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ ldots,K$

${\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatörsnamn {Tr} ({\bf {R} }^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatörsnamn {Tr} ({\bf {R }}^{-2^{(i)}})-\operatörsnamn {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatörsnamn {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},$

där uppskattningen av ${\bf {R}}$ vid $i$ iterationen ges av ${\ displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$ med ${\bf {P}}^{(i)}=\operatörsnamn {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^ {(i)})$ .

Utöver skanningsrutnätsnoggrannhet

Upplösningen för de flesta komprimerade avkänningsbaserade källlokaliseringstekniker begränsas av finheten hos riktningsnätet som täcker platsparameterutrymmet. I modellen för gles signalåterställning beror glesheten hos sanningssignalen ${\displaystyle \mathbf {x} (n)} på avståndet mellan det intilliggande elementet i den överfullständiga ordboken$${\displaystyle {\bf { A}}} , därför$ uppstår svårigheten att välja den optimala överfullständiga ordboken . Beräkningskomplexiteten är direkt proportionell mot riktningsrutnätets finhet, ett mycket tätt rutnät är inte praktiskt beräkningsmässigt. För att övervinna denna upplösningsbegränsning som påtvingas av nätet, föreslås den rutnätsfria SAMV-SML ( iterativ Sparse Asymptotic Minimum Variance - Stokastic Maximum Likelihood ), som förfinar platsuppskattningarna ${\ displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}} genom att iterativt minimera en stokastisk maximal sannolikhetskostnadsfunktion med$ avseende på en enkel skalär parameter $\theta _{k}$ .

Applikation för avstånds-doppleravbildning

för SISO- intervall med doppleravbildning med tre 5 dB och sex 25 dB mål. (a) grundsanning, (b) matchat filter (MF), (c) IAA-algoritm, (d) SAMV-0-algoritm. Alla effektnivåer är i dB. Både MF- och IAA-metoderna är begränsade i upplösning med avseende på doppleraxeln. SAMV-0 erbjuder överlägsen upplösning när det gäller både räckvidd och doppler.

En typisk applikation med SAMV-algoritmen i SISO radar / sonar range-Doppler bildproblem . Detta avbildningsproblem är en applikation för enstaka ögonblicksbilder, och algoritmer som är kompatibla med uppskattning av en ögonblicksbild ingår, dvs matchat filter (MF, liknande periodogrammet eller bakprojektion , som ofta implementeras effektivt som snabb Fourier-transform (FFT)), IAA och en variant av SAMV-algoritmen (SAMV-0). Simuleringsvillkoren är identiska med: En $30$ -element polyfas pulskomprimering P3-kod används som den sända pulsen, och totalt nio rörliga mål simuleras. Av alla rörliga mål har tre $5$ dB effekt och resten sex har $25$ dB effekt. De mottagna signalerna antas vara kontaminerade med enhetligt vitt Gaussiskt brus med $0$ dB effekt.

Det matchade filterdetekteringsresultatet lider av allvarliga utsmetnings- och läckageeffekter både i doppler- och avståndsdomänen, därför är det omöjligt att särskilja de $5$ dB-målen. Tvärtom erbjuder IAA-algoritmen förbättrade bildresultat med observerbara målavståndsuppskattningar och dopplerfrekvenser. SAMV-0-metoden ger mycket sparsamma resultat och eliminerar utsmetningseffekterna helt, men den missar de svaga $5$ dB-målen.

Implementering av öppen källkod

En MATLAB- implementering med öppen källkod av SAMV-algoritmen kan laddas ner här .

Se även

• Array bearbetning
• Matchat filter
• Periodogram
• Filtrerad bakåtprojektion (Radontransform)
• Multiple SIgnal Classification (MUSIC), en populär parametrisk superupplösningsmetod
• Puls-Doppler radar
• Superupplöst bildbehandling
• Komprimerad avkänning
• Omvänt problem
• Tomografisk rekonstruktion