MUSIK (algoritm)

Radioriktningsavkänningen av MUSIC- algoritmen

MUSIC ( MUltiple SIgnal Classification ) är en algoritm som används för frekvensuppskattning och radioriktningssökning .

Historia

I många praktiska signalbehandlingsproblem är syftet att från mätningar uppskatta en uppsättning konstanta parametrar som de mottagna signalerna beror på. Det har funnits flera tillvägagångssätt för sådana problem, inklusive den så kallade maximum likelihood (ML) metoden enligt Capon (1969) och Burgs maximala entropi (ME) metod. Även om de ofta är framgångsrika och i stor utsträckning används, har dessa metoder vissa grundläggande begränsningar (särskilt bias och känslighet i parameteruppskattningar), till stor del för att de använder en felaktig modell (t.ex. AR snarare än speciell ARMA ) av mätningarna.

Pisarenko (1973) var en av de första som utnyttjade strukturen av datamodellen, och gjorde det i samband med uppskattning av parametrar för komplexa sinusoider i additivt brus med hjälp av en kovariansmetod. Schmidt (1977), medan han arbetade på Northrop Grumman och oberoende Bienvenu och Kopp (1979) var de första som korrekt utnyttjade mätmodellen i fallet med sensormatriser av godtycklig form. Schmidt, i synnerhet, åstadkom detta genom att först härleda en komplett geometrisk lösning i frånvaro av brus och sedan på ett smart sätt utöka de geometriska koncepten för att erhålla en rimlig ungefärlig lösning i närvaro av brus. Den resulterande algoritmen kallades MUSIC (Multiple SIgnal Classification) och har studerats flitigt.

I en detaljerad utvärdering baserad på tusentals simuleringar drog Massachusetts Institute of Technologys Lincoln Laboratory 1998 slutsatsen att, bland för närvarande accepterade högupplösta algoritmer, var MUSIC den mest lovande och en ledande kandidat för vidare studier och faktisk hårdvaruimplementering. Men även om prestandafördelarna med MUSIC är betydande, uppnås de till en kostnad vid beräkning (sökning över parameterutrymme) och lagring (av arraykalibreringsdata).

Teori

MUSIC-metoden antar att en signalvektor, $\mathbf {x}$ , består av $p$ komplexa exponentialer, vars frekvenser $\omega$ är okända, i närvaro av Gaussiskt vitt brus, $\mathbf {n}$ , enligt den linjära modellen

$\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .$

Här ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a$ är en $M\times p$ Vandermonde-matris av styrvektorer $\mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega},\ldots ,e^{j(M-1 )\omega }]^{T}$ och $\mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}$ är amplitudvektorn. Ett avgörande antagande är att antalet källor, $p$ , är mindre än antalet element i mätvektorn, $M$ , dvs $p<M$ .

M $M\times M$ autokorrelationsmatrisen för $\displaystyle \mathbf {x} }$ ges sedan av

$\mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+ \sigma ^{2}\mathbf {I} ,$

där $\sigma ^{2}$ är brusvariansen, $\mathbf {I}$ är $M\times M$ identitetsmatris, och $\ mathbf {R} _{s}$ är $p\times p$ autokorrelationsmatrisen för $\mathbf {s}$ .

Autokorrelationsmatrisen $\mathbf {R} _{x}$ uppskattas traditionellt med hjälp av provkorrelationsmatrisen

${\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{ H}$

där $N>M$ är antalet vektorobservationer och $\mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1 },\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]$ . Givet uppskattningen av $\mathbf {R} _{x}$ uppskattar MUSIC frekvensinnehållet i signalen eller autokorrelationsmatrisen med hjälp av en egenrumsmetod .

Eftersom $\mathbf {R} _{x}$ är en hermitisk matris, alla dess $M$ egenvektorer $\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}$ är ortogonala mot varandra. Om egenvärdena för $\mathbf {R} _{x}$ sorteras i fallande ordning, kommer egenvektorerna $\{\mathbf {v} _{1} ,\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}$ som motsvarar de $p$ största egenvärdena (dvs. riktningarna med största variabilitet) spänner över signaldelrummet ${\mathcal {U}} _{S}$ . De återstående $Mp$ egenvektorerna motsvarar egenvärde lika med $\sigma ^{2}$ och spänner över brusunderrummet ${\mathcal {U}}_{N}$ , som är ortogonal mot signalunderrummet, ${\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}$ .

Observera att för $M=p+1$ är MUSIC identisk med Pisarenko harmonisk nedbrytning . Den allmänna idén bakom MUSIC-metoden är att använda alla egenvektorer som spänner över brusunderrummet för att förbättra prestandan hos Pisarenko-estimatorn.

Eftersom varje signalvektor $\mathbf {e}$ som finns i signalunderrymden $\mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}$ måste vara ortogonal mot brusunderrummet, ${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}} ,$ det måste vara att $\mathbf {e} \perp \ mathbf {v} _{i}$ för alla egenvektorerna $\{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M }$ som sträcker sig över brusunderrummet. För att mäta graden av ortogonalitet för $\mathbf {e}$ med avseende på alla $\mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}} _{N}$ , MUSIC-algoritmen definierar en kvadratisk norm

$d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U } _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\summa _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}$

där matrisen $\mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v } _{M}]$ är matrisen av egenvektorer som spänner över brusunderrummet ${\mathcal {U}}_{N}$ . Om $\mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}$ , då $d^{2}=0$ som antyds av ortogonalitetsvillkoret. Att ta en reciprok av det kvadratiska normuttrycket skapar skarpa toppar vid signalfrekvenserna. Frekvensuppskattningsfunktionen för MUSIC (eller pseudospektrumet) är

${\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N }\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\summa _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^ {H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},$

där $\mathbf {v} _{i}$ är brusegenvektorerna och

$\mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}$

är kandidatstyrvektorn. Platserna för de $p$ största topparna i estimeringsfunktionen ger frekvensuppskattningarna för $p$ -signalkomponenterna

${\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).$

MUSIK är en generalisering av Pisarenkos metod , och den reduceras till Pisarenkos metod när $M=p+1$ . I Pisarenkos metod används endast en enda egenvektor för att bilda nämnaren för frekvensuppskattningsfunktionen; och egenvektorn tolkas som en uppsättning autoregressiva koefficienter, vars nollor kan hittas analytiskt eller med polynomrotfyndande algoritmer. Däremot antar MUSIC att flera sådana funktioner har lagts samman, så nollor kanske inte finns. Istället finns det lokala minima, som kan lokaliseras genom beräkningssökning av estimeringsfunktionen efter toppar.

Dimension av signalutrymme

Den fundamentala observation som MUSIC och andra underrumsnedbrytningsmetoder baseras på handlar om rangordningen för autokorrelationsmatrisen $\mathbf {R} _{x}$ som är relaterad till antalet signalkällor $p$ som följer.

Om källorna är komplexa, då är $\displaystyle M>p}$$p$ och dimensionen för signaldelrummet ${\mathcal {U}}_{S}$ p . Om källorna är reella, då $M>2p$ och dimensionen på signaldelrummet är $2p$ , dvs varje reell sinusform genereras av två basvektorer.

Detta fundamentala resultat, även om det ofta hoppas över i böcker om spektralanalys, är en anledning till att insignalen kan fördelas i $p$ signaldelrumsegenvektorer som spänner över ${\mathcal {U}}_{S}$ ( $2p$ för realvärderade signaler) och egenvektorer för brusdelrum som spänner över ${\mathcal {U}}_{N}$ . Den är baserad på signalinbäddningsteori och kan också förklaras av den topologiska teorin om grenrör .

Jämförelse med andra metoder

MUSIC överträffar enkla metoder som att plocka toppar av DFT-spektra i närvaro av brus, när antalet komponenter är känt i förväg, eftersom den utnyttjar kunskapen om detta nummer för att ignorera bruset i sin slutrapport.

Till skillnad från DFT kan den uppskatta frekvenser med högre noggrannhet än ett sampel, eftersom dess uppskattningsfunktion kan utvärderas för vilken frekvens som helst, inte bara för DFT-fack. Detta är en form av superupplösning .

Dess främsta nackdel är att det kräver att antalet komponenter är känt i förväg, så den ursprungliga metoden kan inte användas i mer allmänna fall. Det finns metoder för att uppskatta antalet källkomponenter enbart utifrån statistiska egenskaper hos autokorrelationsmatrisen. Se t.ex. Dessutom antar MUSIK att samexisterande källor är okorrelerade, vilket begränsar dess praktiska tillämpningar.

Nya iterativa semi-parametriska metoder erbjuder robust superupplösning trots starkt korrelerade källor, t.ex. SAMV

Andra applikationer

En modifierad version av MUSIC, betecknad som Time-Reversal MUSIC (TR-MUSIC) har nyligen applicerats på beräkningstidsreversal avbildning. MUSIC-algoritm har också implementerats för snabb detektering av DTMF-frekvenserna ( Dual-tone multi-frequency signaling ) i form av C library - libmusic.

Se även

• Spektral densitetsuppskattning
• Periodogram
• Matchat filter
• Welchs metod
• Bartletts metod
• SAMV (algoritm)
• Radioriktningssökning
• Algoritm för tonhöjdsdetektering
• Högupplöst mikroskopi

Vidare läsning

• Uppskattning och spårning av frekvens, Quinn och Hannan, Cambridge University Press 2001.