Rogers–Ramanujan fortsatte fraktion

Rogers –Ramanujan fortsättningsfraktionen är en fortsatt fraktion upptäckt av Rogers (1894) och oberoende av Srinivasa Ramanujan , och nära besläktad med Rogers–Ramanujan-identiteterna . Det kan explicit utvärderas för en bred klass av värden i dess argument.

Domänfärgsrepresentation av den konvergenta $A_{400}(q)/B_{400}(q)$${$ funktionen , där $R(q)$ är Rogers–Ramanujans fortsatta bråk.

Definition

Representation av approximationen $q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)$ för Rogers–Ramanujan fortsatt fraktion.

Givet funktionerna $G(q)$ och $H(q)$ som förekommer i Rogers–Ramanujan-identiteterna, och antag $q= e^{2\pi i\tau }$ ,

${\begin{aligned}G(q)&=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}} }{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{ n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^ {5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q ^{5n-4})}}\\&={\sqrt[{60}]{q\,j}}\,\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1} {60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\sqrt[{60 }]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}} ;{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^ {4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}$

och,

${\begin{aligned}H(q)&=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac { q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\summa _{n=0}^ {\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{ 5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1 }{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11} j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{ 5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right) ^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5 }};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q ^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}$

med koefficienterna för q -expansionen är OEIS : A003114 respektive OEIS : A003106 , där $(a;q)_{\infty }$ anger den oändliga q-Pochhammer-symbolen , j är j -funktionen och ₂ F ₁ är den hypergeometriska funktionen . Rogers–Ramanujans fortsatta fraktion är då,

${\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac { 1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n -1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}=q^{1/5}\ prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{(n|5)}\\&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\ cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

$(n|m)$ betecknar Jacobi-symbolen.

Man bör vara försiktig med notation eftersom formlerna som använder j-funktionen $j$ endast kommer att överensstämma med de andra formlerna om $q=e^{2\pi i\tau }$ (kvadraten på nomen ) används i hela detta avsnitt eftersom q -expansionen av j-funktionen (liksom den välkända Dedekind eta-funktionen ) använder $q=e ^{2\pi i\tau }$ . Ramanujan, i sina exempel till Hardy och som ges nedan, använde istället nomen ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} .$

Särskilda värden

Om q är nomen eller dess kvadrat, då $q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)$ och ${ \displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)}$ , såväl som deras kvot $R(q)$ , är relaterade till modulära funktioner hos $\tau$ . Eftersom de har integralkoefficienter, innebär teorin om komplex multiplikation att deras värden för $\tau$ som involverar ett imaginärt kvadratiskt fält är algebraiska tal som kan utvärderas explicit.

Exempel på R(q)

Med tanke på den allmänna formen där Ramanujan använde namnet $q=e^{\pi i\tau }$ ,

$R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac { q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}$

när $\tau =i$ ,

$ϕ$

när $\tau =2i$ ,

$R{\big (} ^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi } }{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt[{4}]{5}}\,\phi ^{1/ 2}-\phi }=0,284079\dots$

när $\tau =4i$ ,

$R{\big (}e^{-4\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {4\pi }{5}}}}{1 +{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-8\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\tfrac {1}{2 }}\phi \,({\sqrt {5}}-\phi ^{3/2})(-{\sqrt[{4}]{5}}+\phi ^{3/2})=0,081002 \dots$

när $\tau =2{\sqrt {5}}i$ ,

${\displaystyle R{\big (}e^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{$

när $\tau =5i$ ,

$R{\big (}e^{-5\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-\pi }} {1+{\cfrac {e^{-5\pi }}{1+{\cfrac {e^{-10\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+ \phi ^{2}}{\phi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\phi -3{\sqrt {\phi -1}})(3\phi ^{ 3/2}-{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-{\phi }=0.0432139\dots$

när $\tau =10i$ ,

$R{\big (}e^{-10\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{- 10\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac {1+\phi ^{2}}{\phi + {\big (}3{\sqrt {1+\phi ^{2}}}-4-\phi {\big )}^{1/5}}}-{\phi }=0.00186744\dots$

när $\tau =20i$ ,

$R{\big (}e^{-20\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-20\pi }}{1+{\cfrac {e^{-40\pi }}{1+\ddots }}}}}}={\frac { 1+\phi ^{2}}{\phi +{\big (}{\frac {1}{2}}(4-\phi -3{\sqrt {\phi -1}})(3\phi ^{3/2}+{\sqrt[{4}]{5}}){\big )}^{1/5}}}-{\phi }=0.00000348734\dots$

och $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ är det gyllene snittet . Observera att $R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}$ är en positiv rot av kvartsekvationen ,

$x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-2x+1=0$

medan $R{\big (}e^{-\pi }{\big )}$ och $R{\big (}e^{- 4\pi }{\big )}$ är två positiva rötter av en enda oktisk ,

$y^{4}+2\phi ^{4}y^{3}+6\phi ^{2 }y^{2}-2\phi ^{4}y+1=0$

(eftersom $\phi$ har en kvadratrot) vilket förklarar likheten mellan de två slutna formerna. Mer generellt, för positivt heltal m , då $R(e^{-2\pi /m})$ och $R(e ^{-2\pi \,m})$ är två rötter till samma ekvation samt,

${\bigl [}R(e^{-2\pi /m})+ \phi {\bigr ]}{\bigl [}R(e^{-2\pi \,m})+\phi {\bigr ]}={\sqrt {5}}\,\phi$

Den algebraiska graden k för $R(e^{-\pi \,n})$ för $n=1,2, 3,4,\dots$ är $k=8,4,32,8,\dots$ ( OEIS : A082682 ).

För övrigt kan dessa fortsatta fraktioner användas för att lösa några kvintiska ekvationer som visas i ett senare avsnitt.

Exempel på G(q) och H(q)

Intressant nog finns det explicita formler för $G(q)$ och $H(q)$ i termer av j-funktionen $j(\tau )$ och Rogers-Ramanujans fortsatta fraktion $R(q)$ . Men eftersom $j(\tau )$ använder nomens kvadrat $q=e^{2\pi \,i\tau }$ , så bör man vara var försiktig med notation så att $j(\tau ),\,G(q),\,H(q)$ och ${ \displaystyle r=R(q)}$ använd samma $q$ .

${\begin{aligned}G(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1- q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&=q^{1/60}{\frac {j(\tau )^{1/60}}{( r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{1/20}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H(q)&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{ (1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {-1}{q^{11/60}}}{\frac {( r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{11/20}}{j(\tau )^{11/60}\,(r^ {10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}$

De sekundära formlerna innebär naturligtvis att $q^{-1/60}G(q)$ och $q^{11/ 60}H(q)$ är algebraiska tal (men normalt av hög grad) för $\tau$ som involverar ett imaginärt kvadratiskt fält . Till exempel förenklar formlerna ovan till,

${\begin{aligned}G(e^{-2\pi })&=(e^{-2 \pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\phi )^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-2\ pi })}}}\\&=1.00187093\dots \\H(e^{-2\pi })&={\frac {1}{(e^{-2\pi})^{11/60 }}}{\frac {1}{(5\,\phi )^{1/4}}}{\sqrt {R(e^{-2\pi })}}\\&=1.00000349\dots \ \\end{aligned}}$

och,

$}G(e^{-4\pi })&=(e^{-4\pi })^{1/60}{\frac {1}{(5\,\phi ^{3})^{ 1/4}\,(\phi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4}}}{\frac {1}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}}\\&=1.000003487354\dots \\H(e^{-4\pi })&={\frac {1}{(e^{-4\pi })^{11/60} }}{\frac {1}{(5\,\phi ^{3})^{1/4}\,(\phi +{\sqrt[{4}]{5}})^{1/4 }}}{\sqrt {R(e^{-4\pi })}}\\&=1.000000000012\dots \\\end{aligned}}$

och så vidare, med $\phi$ som det gyllene snittet.

Förhållande till modulära former

$R(q)$ kan relateras till Dedekind eta-funktionen , en modulär form av vikt 1/2, som,

${\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\ eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1$

${\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{ \eta (5\tau )}}\right]^{6}+11$

Rogers-Ramanujans fortsatta fraktion kan också uttryckas i termer av Jacobi theta-funktionerna . Kom ihåg notationen,

${\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&= \theta _{2}(q)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0 ;\tau )&=\theta _{3}(q)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0 ;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end {Justerat}}$

Notationen $\theta _{n}$ är något lättare att komma ihåg eftersom $\theta _{2}^{4}+\theta _{4 }^{4}=\theta _{3}^{4}$ , med jämna abonnemang på LHS. Således,

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatörsnamn {arccot} { \biggl [}{\frac {1}{2}}+{\frac {\theta _{4}(x^{1/5})[5\,\theta _{4}(x^{5} )^{2}-\theta _{4}(x)^{2}]}{2\,\theta _{4}(x^{5})[\theta _{4}(x)^{ 2}-\theta _{4}(x^{1/5})^{2}]}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatörsnamn {arccot} {\biggl [}{\frac { 1}{2}}+{\bigg (}{\frac {\theta _{2}(x^{1/10})\,\theta _{3}(x^{1/10})\, \theta _{4}(x^{1/10})}{2^{3}\,\theta _{2}(x^{5/2})\,\theta _{3}(x^ {5/2})\,\theta _{4}(x^{5/2})}}{\bigg )}^{1/3}{\biggr ]}{\biggr \}}$

$\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\$

$R(x)= \tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(x^{ 1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/ 5}\times \cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatörsnamn {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _ {4}(x^{1/2})^{2}}{2\,\theta _{4}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}$

Observera dock att theta-funktioner normalt använder nomen q = e ^iπτ , medan Dedekind eta-funktionen använder kvadraten av nomen q = e ^2iπτ , så variabeln x har istället använts för att upprätthålla överensstämmelse mellan alla funktioner. Låt till exempel $\tau ={\sqrt {-1}}$ så $x=e^{-\pi }$ . Pluggar man in detta i theta-funktionerna, får man samma värde för alla tre R ( x )-formlerna, vilket är den korrekta utvärderingen av den fortsatta fraktionen som ges tidigare,

$R{\big (}e^{-\pi }{\big ) }={\frac {1}{2}}\phi \,({\sqrt {5}}-\phi ^{3/2})({\sqrt[{4}]{5}}+\phi ^{3/2})=0,511428\dots$

Man kan också definiera den elliptiska nomen ,

$q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k ^{2}}})/K(k){\big ]}$

Den lilla bokstaven k beskriver den elliptiska modulen och den stora bokstaven K beskriver den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget. Den fortsatta fraktionen kan då också uttryckas av Jacobi elliptiska funktioner enligt följande:

$\displaystyle R{\big (}q(k){\big )}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan$

med

$y={\frac {2k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\,{\text {sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}{5-k^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {2 }{5}}K(k);k]^{2}\,{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}.$

Relation till j-funktion

En formel som involverar j-funktionen och Dedekind eta-funktionen är denna:

$j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}$

där $x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}.\,$ Sedan också,

${\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^ {5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11$

Genom att eliminera eta-kvotienten $x$ mellan de två ekvationerna kan man sedan uttrycka j ( τ ) i termer av $r=R(q)$ som,

${\begin{aligned}&j(-\tau ) frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{ 5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^ {10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}$

där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av icosahedron . Genom att använda den modulära ekvationen mellan $R(q)$ och $R(q^{5})$ finner man att,

${\begin{aligned}&j(5\tau )=-{ \frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^ {5}-1)}}\\[6pt]&j(5\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+18r^{25}+75r^{20}+75r^{10 }-18r^{5}+1)^{2}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}\end{aligned}}$

Låt $z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}$ , sedan $j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}$

var

${\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\vänster[{\ frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5 \tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\höger]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\vänster[{\frac {\ eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\vänster[ {\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}$

som i själva verket är j-invarianten för den elliptiska kurvan ,

$y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y= x^{3}+r^{5}x^{2}$

parametreras av icke-kusppunkterna för den modulära kurvan $X_{1}(5)$ .

Funktionell ekvation

För enkelhetens skull kan man också använda notationen $r(\tau )=R(q)$ när q = e ^2πiτ . Medan andra modulära funktioner som j-invarianten uppfyller,

$j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )$

och Dedekind eta-funktionen har,

$\eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\ tau )$

den funktionella ekvationen för Rogers–Ramanujans fortsatta bråk innebär det gyllene snittet $\phi$ ,

$r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\phi \,r (\tau )}{\phi +r(\tau )}}$

Tillfälligtvis,

$r({\tfrac {7+i}{10}})=i$

Modulära ekvationer

Det finns modulära ekvationer mellan $R(q)$ och $R(q^{n})$ . Eleganta för små prime n är följande.

För $n=2$ , låt $u=R(q)$ och $v=R(q^{2})$ , sedan $vu^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.$

För $n=3$ , låt $u=R(q)$ och $v=R(q^{3})$$(vu^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.$ sedan

För $n=5$ , låt $u=R(q)$ och $v=R(q^{5})$ , sedan $v(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1 )u^{5}.$

Eller motsvarande för $n=5$ , låt $u=R(q)$ och $v=R(q^{5 })$ och ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} ,$ sedan $u^{5}={\frac {v\,(v^{2}-\phi ^{2}v+\phi ^{2})(v^{2}-\phi ^{-2 }v+\phi ^{-2})}{(v^{2}+v+\phi ^{2})(v^{2}+v+\phi ^{-2})}}.$

För $n=11$ , låt $u=R(q)$ och $v=R(q^{11})$ , sedan $uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(uv)^{12}.$

Angående $n=5$ , notera att $v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1 )(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).$

Övriga resultat

Ramanujan hittade många andra intressanta resultat angående $R(q)$ . Låt $a,b\in \mathbb {R} ^{+}$ , och $\phi$ som det gyllene snittet .

Om $ab=\pi ^{2}$ då,

${\bigl [}R(e^{-2a})+\phi {\bigl ]}{\bigl [}R(e^{-2b})+\phi {\bigr ]}={\ sqrt {5}}\,\phi .$

Om $5ab=\pi ^{2}$ då,

${\bigl [}R^{5}(e^{-2a})+\phi ^{5}{\bigl ]}{\bigl [}R^{5}(e^{-2b} )+\phi ^{5}{\bigr ]}=5{\sqrt {5}}\,\phi ^{5}.$

Potenserna för $R(q)$ kan också uttryckas på ovanliga sätt. För sin kub ,

$R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}$

var,

$\alpha =\summa _{n=0}^{\ infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}} {1-q^{5n+3}}}$

$\beta =\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\summa _{n=0}^{\infty } {\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}$

För sin femte potens, låt ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})} ,$ sedan,

$R^{5}(q)=w\left( {\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)$

Quintiska ekvationer

Den allmänna kvintiska ekvationen i Bring-Jerrard-form:

$x^{5}-5x-4a=0$

för varje verkligt värde kan $a>1$ lösas i termer av Rogers-Ramanujans fortsatta bråkdel $R(q)$ och den elliptiska nomen:

$q(k)=\exp {\big [}-\pi K({\sqrt {1-k ^{2}}})/K(k){\big ]}$

För att lösa denna quintic måste elliptikmodulen först bestämmas som:

$k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\ operatörsnamn {arccsc}(a^{2})]$

Då är den verkliga lösningen:

${\begin{aligned}x&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \ }}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q(k)^{ 2}]}}\,{\sqrt[{4}]{4\cot \langle 4\arctan\{S\}\rangle -3}}}}\\&={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)]{\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R [q(k)]R[q(k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{{\frac {2}{S-1}}+{\frac {2}{ S+1}}+{\frac {1}{S}}-S-3}}}}\end{aligned}}$

där $S=R[q(k)]\,R^{2}[q(k)^{2}].$ . Kom ihåg i föregående avsnitt kan den 5:e potensen av $R(q)$ uttryckas med $S$ :

$R^{5}[q(k)]=S\left({\frac {1-S}{1+S }}\right)^{2}$

Exempel 1

$x^{5}-x-1=0$

Förvandla till,

$({\sqrt[{4}]{5}}x)^{5}-5({\sqrt [{4}]{5}}x)-4({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}})=0$

Således,

$a={\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}$

$k=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4 }}\operatörsnamn {arccsc}(a^{2})]={\tfrac {5^{5/4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}-16}}}{5^{5 /4}+{\sqrt {25{\sqrt {5}}+16}}}}$

$q(k)=0,0851414716\dots$

$R[q(k)]=0,5633613184\dots$

$R[q(k)^{2}]=0,37061223 }\dots2$

och lösningen är:

$x={\frac {2-{\bigl \{}1-R[q(k)] {\bigr \}}{\bigl \{}1+R[q(k)^{2}]{\bigr \}}}{{\sqrt {R[q(k)]\,R[q( k)^{2}]}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{R[q(k)]\,R[q(k)^{2}] ^{2}\}\rangle -15}}}}=1,167303978\dots$

och kan inte representeras av elementära rotuttryck.

Exempel 2

$x^{5}-5x-4{\Bigl (}{\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}{ \Bigr )}=0$

Således,

$a={\sqrt[{4}]{\tfrac {81}{32}}}$

Med tanke på de mer bekanta fortsatta bråken med slutna former,

$r_{1}=R{\big (}e^{ -\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\phi \,({\sqrt {5}}-\phi ^{3/2})({\sqrt[{4} ]{5}}+\phi ^{3/2})=0,511428\dots$

$r_{2}= R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\sqrt[{4}]{5}}\,\phi ^{1/2}-\phi =0.284079\dots$

$r_{4}=R{\big (}e ^{-4\pi }{\big )}={\tfrac {1}{2}}\phi \,({\sqrt {5}}-\phi ^{3/2})(-{\sqrt [{4}]{5}}+\phi ^{3/2})=0,081002\dots$

med gyllene snittet $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ och lösningen förenklar till:

${\begin={aligned}x&t[ {4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{1}{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{2}{\bigr \ }}}{{\sqrt {r_{1}\,r_{2}}}\,{\sqrt[{4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{1}\,r_{2 }^{2}\}\rangle -15}}}}\\&={\sqrt[{4}]{5}}\,{\frac {2-{\bigl \{}1-r_{2 }{\bigr \}}{\bigl \{}1+r_{4}{\bigr \}}}{{\sqrt {r_{2}\,r_{4}}}\,{\sqrt[{ 4}]{20\cot \langle 4\arctan\{r_{2}\,r_{4}^{2}\}\rangle -15}}}}\\&={\sqrt[{4}] {8}}=1,681792\dots \end{aligned}}$

• Rogers, LJ (1894), "Andra memoarer om expansionen av vissa oändliga produkter", Proc . London Math. Soc. , s1-25 (1): 318–343, doi : 10.1112/plms/s1-25.1.318
• Berndt, BC; Chan, HH; Huang, SS; Kang, SY; Sohn, J.; Son, SH (1999), "The Rogers–Ramanujan continued fraktion" (PDF) , Journal of Computational and Applied Mathematics , 105 (1–2): 9–24, doi : 10.1016/S0377-0427(99)00033-3

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Rogers-Ramanujan-identiteter" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Rogers-Ramanujans fortsatta fraktion" . MathWorld .