Rogers-Ramanujan identiteter

I matematik är Rogers -Ramanujan-identiteterna två identiteter relaterade till grundläggande hypergeometriska serier och heltalspartitioner . Identiteterna upptäcktes och bevisades först av Leonard James Rogers ( 1894 ), och återupptäcktes därefter (utan bevis) av Srinivasa Ramanujan en tid före 1913. Ramanujan hade inga bevis, men återupptäckte Rogers papper 1917, och de publicerade sedan en gemensam nytt bevis ( Rogers & Ramanujan 1919) . Issai Schur ( 1917 ) återupptäckte och bevisade identiteterna på egen hand.

Definition

Rogers-Ramanujan-identiteterna är

G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q) _{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1 +q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots

(sekvens A003114 i OEIS )

och

H(q)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q )_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots

(sekvens A003106 i OEIS ).

Här betecknar $(a;q)_{n}$ q-Pochhammer-symbolen .

Kombinatorisk tolkning

Tänk på följande:

${\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}$ är genereringsfunktionen för partitioner med exakt ${\ displaystyle n}$ delar så att intilliggande delar har en skillnad på minst 2.
${\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{ 5})_{\infty }}}$ är genereringsfunktionen för partitioner så att varje del är kongruent med antingen 1 eller 4 modulo 5.
${\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}$ är genereringsfunktionen för partitioner med exakt $n$ delar så att intilliggande delar har skillnaden minst 2 och så att den minsta delen är minst 2.
${\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3 };q^{5})_{\infty }}}$ är genereringsfunktionen för partitioner så att varje del är kongruent med antingen 2 eller 3 modulo 5.

Rogers-Ramanujan-identiteterna kan nu tolkas på följande sätt. Låt $n$ vara ett icke-negativt heltal.

Antalet partitioner av $n$ så att de intilliggande delarna skiljer sig med minst 2 är detsamma som antalet partitioner för $n$ så att varje del är kongruent med antingen 1 eller 4 modulo 5.
Antalet partitioner av $n$ så att de intilliggande delarna skiljer sig med minst 2 och så att den minsta delen är minst 2 är detsamma som antalet partitioner av $n$ så att varje del är kongruent med antingen 2 eller 3 modulo 5.

Alternativt

Antalet partitioner av $n$ så att med $k$ delar den minsta delen är minst $k$ är detsamma som antalet partitioner av $n$ så att varje del är kongruent med antingen 1 eller 4 modulo 5.
Antalet partitioner av $n$ så att med $k$ delar är den minsta delen minst $k+1$ är detsamma som antalet partitioner för $n$ så att varje del är kongruent med antingen 2 eller 3 modulo 5.

Modulära funktioner

Om q = e ^2πiτ , så är q ^−1/60 G ( q ) och q ^11/60 H ( q ) modulära funktioner av τ.

Ansökningar

Rogers-Ramanujan-identiteterna dök upp i Baxters lösning av den hårda hexagonmodellen inom statistisk mekanik.

Ramanujans fortsatta bråkdel är

1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={ \frac {G(q)}{H(q)}}.

Relationer till affina Lie-algebror och vertexoperatoralgebror

James Lepowsky och Robert Lee Wilson var de första som bevisade Rogers-Ramanujan-identiteter med hjälp av helt representationsteoretiska tekniker. De bevisade dessa identiteter med hjälp av nivå 3-moduler för den affina Lie-algebra ${\widehat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}$ . Under detta bevis uppfann och använde de vad de kallade $Z$ -algebror. Lepowsky och Wilsons tillvägagångssätt är universellt, genom att det kan behandla alla affina Lie-algebror på alla nivåer. Den kan användas för att hitta (och bevisa) nya partitionsidentiteter. Det första exemplet är det av Capparellis identiteter som upptäcktes av Stefano Capparelli med hjälp av nivå 3-moduler för den affina Lie-algebra $A_{2}^{(2)}$ .

Se även

Rogers, LJ; Ramanujan, Srinivasa (1919), "Bevis på vissa identiteter i kombinatorisk analys.", Cambr. Phil. Soc. Proc. , 19 : 211–216, Omtryckt som papper 26 i Ramanujans samlade tidningar
Rogers, LJ (1892), "Om expansionen av några oändliga produkter", Proc . London Math. Soc. , 24 (1): 337–352, doi : 10.1112/plms/s1-24.1.337 , JFM 25.0432.01
Rogers, LJ (1893), "Andra memoarer om expansionen av vissa oändliga produkter", Proc . London Math. Soc. , 25 (1): 318–343, doi : 10.1112/plms/s1-25.1.318
Rogers, LJ (1894), "Tredje memoarer om utvidgningen av vissa oändliga produkter", Proc . London Math. Soc. , 26 (1): 15–32, doi : 10.1112/plms/s1-26.1.15
Schur, Issai (1917), "Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche", Sitzungsberichte der Berliner Akademie : 302–321
WN Bailey , Generalized Hypergeometric Series , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
George Gasper och Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition , (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .
Bruce C. Berndt , Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction , J. Comput. Appl. Matematik. 105 (1999), s. 9–24.
Cilanne Boulet, Igor Pak , A Combinatorial Proof of the Rogers-Ramanujan and Schur Identities , Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, vol. 113 (2006), 1019–1030.
Slater, LJ (1952), "Ytterligare identiteter av Rogers-Ramanujan-typen", Proceedings of the London Mathematical Society , Series 2, 54 (2): 147–167, doi : 10.1112/plms/s2-54.2.147 , ISSN 0024-6115 , MR 0049225
James Lepowsky och Robert L. Wilson, Construction of the affine Lie-algebra $A_{1}^{(1)}$ , Comm. Matematik. Phys. 62 (1978) 43-53.
James Lepowsky och Robert L. Wilson, En ny familj av algebror som ligger bakom Rogers-Ramanujan-identiteterna, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 78 (1981), 7254-7258.
James Lepowsky och Robert L. Wilson, The structure of standard modules, I: Universal algebras and the Rogers-Ramanujan identities, Invent. Matematik. 77 (1984), 199-290.
James Lepowsky och Robert L. Wilson, The structure of standard modules, II: Case $A_{1}^{(1)}$ , principal gradation , Invent. Matematik. 79 (1985), 417-442.
Stefano Capparelli, Vertex-operatörsrelationer för affina algebror och kombinatoriska identiteter, Thesis (Ph.D.)–Rutgers The State University of New Jersey - New Brunswick. 1988. 107 s.

externa länkar