Returperiod

En återgångsperiod , även känd som ett återkommande intervall eller upprepningsintervall , är en genomsnittlig tid eller en beräknad genomsnittlig tid mellan händelser som jordbävningar , översvämningar , jordskred eller flodflöden som ska inträffa.

Det är ett statistiskt mått som vanligtvis baseras på historiska data över en längre period och används vanligtvis för riskanalys. Som exempel kan nämnas att besluta om ett projekt ska få gå vidare i en zon med en viss risk eller att utforma strukturer för att klara händelser med en viss återgångstid. Följande analys antar att sannolikheten för att händelsen inträffar inte varierar över tiden och är oberoende av tidigare händelser.

Uppskattning av en returperiod

Återkommande intervall $={n+1 \over m}$

n antal registrerade år;

m är rangordningen för observerade händelser när de är ordnade i fallande ordning

För översvämningar kan händelsen mätas i termer av m ³ /s eller höjd; för stormflod , vad gäller höjden på vågen, och på liknande sätt för andra händelser. Detta är Weibulls formel.

Returperiod som ömsesidigt till förväntad frekvens

Den teoretiska återgångsperioden mellan händelser är inversen av den genomsnittliga frekvensen av händelser. Till exempel har en 10-års översvämning 1/10 = 0,1 eller 10 % chans att överskridas under ett år och en 50-års översvämning har 0,02 eller 2 % chans att överskridas under ett år.

Det betyder inte att en 100-årsflod kommer att inträffa regelbundet vart 100:e år, eller bara en gång på 100 år. Trots konnotationerna av namnet "returperiod". Under en given 100-årsperiod kan en 100-års händelse inträffa en gång, två gånger, fler eller inte alls, och varje utfall har en sannolikhet som kan beräknas enligt nedan.

Den beräknade returperioden nedan är också en statistik : den beräknas från en uppsättning data (observationerna), till skillnad från det teoretiska värdet i en idealiserad fördelning. Man vet faktiskt inte att en viss eller större magnitud händer med 1% sannolikhet, bara att det har observerats exakt en gång på 100 år.

Den skillnaden är betydande eftersom det finns få observationer av sällsynta händelser: om till exempel observationer går tillbaka 400 år, kan den mest extrema händelsen (en 400-års händelse enligt den statistiska definitionen) senare klassas som en 200- årshändelse (om en jämförbar händelse inträffar omedelbart) eller en 500-årig händelse (om ingen jämförbar händelse inträffar under ytterligare 100 år).

Vidare kan man inte bestämma storleken på en 1000-årig händelse enbart baserat på sådana register utan måste istället använda en statistisk modell för att förutsäga omfattningen av en sådan (observerad) händelse. Även om det historiska avkastningsintervallet är mycket mindre än 1000 år, om det finns ett antal mindre allvarliga händelser av liknande karaktär, kommer användningen av en sådan modell sannolikt att ge användbar information för att uppskatta det framtida avkastningsintervallet.

Sannolikhetsfördelningar

Man skulle vilja kunna tolka returperioden i probabilistiska modeller. Den mest logiska tolkningen av detta är att ta returperioden som räknehastigheten i en Poisson-fördelning eftersom det är förväntningsvärdet för frekvensen av händelser. En alternativ tolkning är att ta det som sannolikheten för ett årligt Bernoulli-försök i binomialfördelningen . Det är ogynnsamt eftersom varje år inte representerar en oberoende Bernoulli-rättegång utan är ett godtyckligt tidsmått. Denna fråga är huvudsakligen akademisk eftersom de erhållna resultaten kommer att vara liknande under både Poisson- och binomialtolkningarna.

Poisson

Sannolikhetsmassfunktionen för Poissonfördelningen är _

$P_{t}(r)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \över r!}e^{-t/T}$

där $r$ är antalet förekomster som sannolikheten beräknas för, $t$ tidsperioden av intresse, $T$ är returperioden och $\ mu =1/T$ är räknehastigheten.

Sannolikheten för att ingen inträffar kan erhållas helt enkelt med tanke på fallet för $r=0$ . Formeln är

$P_{\text{no-occurrence}}(t)=e^{-\mu t}=e^{-t/ T}$

Följaktligen är sannolikheten för överskridande (dvs. sannolikheten för att en händelse "starkare" än händelsen med returperiod $T$ ska inträffa minst en gång inom tidsperioden av intresse)

$P_{\text{exceedance}}(t)=1-P_{\ text{no-occurrence}}(t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}$

Observera att för alla händelser med returperiod $T$ är sannolikheten för överskridande inom ett intervall lika med returperioden (dvs. ${\displaystyle t=T} )$ oberoende av returperioden och den är lika med till $1-\exp(-1)\approx 63,2\%$ . Detta innebär till exempel att det finns en 63,2 % sannolikhet för att en översvämning som är större än 50-års återflödesöversvämningen ska inträffa inom någon period av 50 år.

Exempel

Om återkomstperioden för förekomst ${\textstyle T}$ är 234 år ( ${\textstyle \mu =0,0043})$ så är sannolikheten för exakt en förekomst på tio år

${\begin{aligned}P_{t}(r)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\ mu t}\\[6pt]P_{10}(1)&={\frac {(10/234)^{1}}{1!}}e^{-10/234}\approx 4,1\%\ end{aligned}}$

Binom

Under en given period på n år ges sannolikheten för ett givet antal r händelser av en returperiod ${\displaystyle \mu } av$ binomialfördelningen enligt följande.

$P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}.$

Detta gäller endast om sannolikheten för mer än en händelse per år är noll. Ofta är det en nära approximation, i vilket fall de sannolikheter som denna formel ger ungefär håller.

Om $n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0$ på ett sådant sätt att $displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$ \

${\frac {n!}{(nr)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{nr}\högerpil e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.$

Ta

$\mu ={\frac {1}{T}}={m \över n+1}$

var

T är returintervall

n är antalet registrerade år;

m är antalet registrerade händelser av den händelse som beaktas

Exempel

Med tanke på att återgångsperioden för en händelse är 100 år,

$p={1 \over 100}=0.01.$

Så sannolikheten att en sådan händelse inträffar exakt en gång på 10 år i rad är:

${\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1 }}\ gånger 0,01^{1}\ gånger 0,99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0,01\times 0,914\\[4pt]&\approx 0,0914\end{aligned}}$

Riskanalys

Returperiod är användbar för riskanalys (som naturlig, inneboende eller hydrologisk risk för misslyckande). När man hanterar förväntningar på strukturdesign är avkastningsperioden användbar för att beräkna risken för strukturen.

Sannolikheten för minst en händelse som överskrider konstruktionsgränserna under konstruktionens förväntade livslängd är ett komplement till sannolikheten att inga händelser inträffar som överskrider konstruktionsgränserna.

Ekvationen för att bedöma denna parameter är

${\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T }\höger)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}$

var

${1 \over T}=P(X\geq x_{T})$ är uttrycket för sannolikheten för att händelsen i fråga ska inträffa under ett år;

n är konstruktionens förväntade livslängd.

Se även

• 100-årsflod
• Kumulativ frekvensanalys
• Frekvens av överskridande
• Uppehållstid