Uppehållstid (statistik)

I statistiken är uppehållstiden den genomsnittliga tid det tar för en slumpmässig process att nå ett visst gränsvärde, vanligtvis en gräns långt från medelvärdet.

Definition

Antag att $y (t)$ är en reell, skalär stokastisk process med initialt värde $0 y (t) = y 0$ , medelvärde $y avg$ och två kritiska värden ${y avg - y min, y avg + y max$ }, där $y min > 0$ och $y max > 0$ . Definiera den första passagetiden för $y (t)$ från intervallet ( $- y min, y max)$ som

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatörsnamn {avg} }-y_{\min},\ y_{\operatörsnamn {avg} }+y_{\max }\}\},

där "inf" är infimum . Detta är den minsta tid efter den initiala tiden $t 0$ som $y (t)$ är lika med ett av de kritiska värdena som bildar gränsen för intervallet, förutsatt att $y 0$ ligger inom intervallet.

Eftersom $y (t)$ går slumpmässigt från sitt initiala värde till gränsen, är $0 τ(y) i sig en$ slumpvariabel . Medelvärdet av $0 τ(y)$ är uppehållstiden ,

{\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].

För en Gauss-process och en gräns långt från medelvärdet, är uppehållstiden lika med inversen av frekvensen för överskridande av det mindre kritiska värdet,

{\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),

där frekvensen av överskridande $N$ är

N(y_{\max })=N_{0}e^{-y_{\max }^{2}/2\ sigma _{y}^{2}},

()

$σ y 2$ är variansen för den gaussiska fördelningen,

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{ f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},

och $Φ y (f)$ är den spektrala effekttätheten för Gaussfördelningen över en frekvens $f$ .

Generalisering till flera dimensioner

Antag att istället för att vara skalär har $y (t) dimensionen$ $p$ , eller $y (t) \in ℝ p$ . Definiera en domän $Ψ \subset ℝ p$ som innehåller $y avg$ och har en jämn gräns $\partialΨ$ . I det här fallet definierar du den första passagetiden för $y (t)$ från domänen $Ψ$ som

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.

I det här fallet är detta infimum den minsta tidpunkt då $y (t)$ är på gränsen för $Ψ$ snarare än att vara lika med ett av två diskreta värden, förutsatt att $y 0$ är inom $Ψ$ . Medelvärdet för denna tid är uppehållstiden ,

{\bar {\tau }}(y_{0})=\operatörsnamn {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Logaritmisk uppehållstid

Den logaritmiska uppehållstiden är en dimensionslös variation av uppehållstiden. Den är proportionell mot den naturliga loggen för en normaliserad uppehållstid. Notera exponentialen i ekvation ( 1 ), den logaritmiska uppehållstiden för en Gaussprocess definieras som

{\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min},\ y_{\ max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.

Detta är nära relaterat till en annan dimensionslös deskriptor av detta system, antalet standardavvikelser mellan gränsen och medelvärdet, $min (y min, ymax) / σy$ .

I allmänhet kan normaliseringsfaktorn $N 0$ vara svår eller omöjlig att beräkna, så de dimensionslösa kvantiteterna kan vara mer användbara i applikationer.

Se även

Anteckningar

Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1986). Sikta kontroll . Handlingar från 25:e konferensen om beslut och kontroll. Aten: IEEE. s. 494–498.
Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1987). Utgångsstyrning . Handlingar från 26:e konferensen om beslut och kontroll. Los Angeles: IEEE. s. 1734–1739.
Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M.; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). "Säkerhetsmarginaler för flyg genom stokastiska vindbyar". Journal of Guidance, Control, and Dynamics . AIAA. 37 (6): 2026–2030. doi : 10.2514/1.G000299 . hdl : 2027.42/140648 .