Ren undergrupp

Inom matematiken , särskilt inom området algebra som studerar teorin om abelska grupper , är en ren undergrupp en generalisering av direkt summand . Den har funnit många användningsområden inom abelsk gruppteori och relaterade områden.

Definition

En undergrupp $S$ av en (typiskt abelsk ) grupp $G$ sägs vara ren om när ett element i $S$ har en $n^{\text{ th}}$ rot i $G$ , den har nödvändigtvis en n: $\displaystyle n^{\text{th}}}$ rot i $S$ . Formellt: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,a\in S} ,$ förekomsten av ett x i G så att $x^{ n}=a\Rightarrow$ förekomsten av ay i S så att $y^{n}=a$ .

Ursprung

Rena undergrupper kallas också isolerade undergrupper eller tjänande undergrupper och undersöktes först i Prüfers artikel från 1923 som beskrev villkoren för nedbrytningen av primära abelska grupper som direkta summor av cykliska grupper med rena undergrupper. Prüfers arbete kompletterades av Kulikoff där många resultat bevisades igen genom att systematiskt använda rena undergrupper. I synnerhet gavs ett bevis för att rena undergrupper av finita exponenter är direkta summeringar. En mer fullständig diskussion om rena undergrupper, deras relation till oändlig abelsk gruppteori och en översikt av deras litteratur ges i Irving Kaplanskys lilla röda bok.

Exempel

Varje direkt uppmaning av en grupp är en ren undergrupp.
Varje ren undergrupp i en ren undergrupp är ren.
En delbar undergrupp av en Abelisk grupp är ren.
Om kvotgruppen är vridningsfri är undergruppen ren.
Torsionsundergruppen i en Abelisk grupp är ren.
Föreningen av rena undergrupper är en ren undergrupp.

Eftersom torsionsundergruppen i en ändligt genererad Abelisk grupp är en direkt summand, kan man fråga sig om torsionsundergruppen alltid är en direkt summand av en Abelisk grupp. Det visar sig att det inte alltid är en summering, utan det är en ren undergrupp. Under vissa milda förhållanden är rena undergrupper direkta summeringar. Så man kan fortfarande återställa det önskade resultatet under dessa förhållanden, som i Kulikoffs tidning. Rena undergrupper kan användas som en mellanegenskap mellan ett resultat på direktsummeringar med ändlighetsvillkor och ett fullt resultat på direktsummeringar med mindre restriktiva ändlighetsvillkor. Ett annat exempel på denna användning är Prüfers artikel, där det faktum att "ändliga torsion Abeliska grupper är direkta summor av cykliska grupper" utvidgas till resultatet att "alla torsion Abeliska grupper av ändliga exponenter är direkta summor av cykliska grupper" via en mellanliggande övervägande av rena undergrupper.

Generaliseringar

Rena undergrupper generaliserades på flera sätt i teorin om abelska grupper och moduler. Rena submoduler definierades på en mängd olika sätt, men slog sig så småningom på den moderna definitionen i termer av tensorprodukter eller ekvationssystem; tidigare definitioner var vanligtvis mer direkta generaliseringar som den enda ekvationen som användes ovan för n:te rötter. Rena injektiva och rena projektiva moduler följer nära från idéerna i Prüfers 1923-tidning. Även om rena projektiva moduler inte har hittat lika många tillämpningar som rena injektioner, är de närmare relaterade till originalverket: En modul är ren projektiv om den är en direkt summa av en direkt summa av ändligt presenterade moduler. I fallet med heltal och abeliangrupper uppgår en ren projektiv modul till en direkt summa av cykliska grupper.

^ Fuchs, L (1970), Infinite Abelian Groups, I , Ren och tillämpad matematik, New York, Academic Press.
^ Prüfer, H. (1923). "Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen" . Matematik. Z . 17 (1): 35–61. doi : 10.1007/BF01504333 . Arkiverad från originalet 2007-09-27.
^ Kulikoff, L. (1941). "Zur Theorie der Abelschen Gruppen von beliebiger Mächtigkeit" . Rec. Matematik. Moskva . NS 9 : 165–181. Arkiverad från originalet 2007-09-27.
^ Kaplansky, Irving (1954). Oändliga Abeliska grupper . Michigans universitet. ISBN 0-472-08500-X .

Phillip A. Griffith (1970). Oändlig Abelsk gruppteori . Chicago föreläsningar i matematik. University of Chicago Press. s. 9–16. ISBN 0-226-30870-7 . Kapitel III.

[1] Fuchs, L (1970), Infinite Abelian Groups, I , Ren och tillämpad matematik, New York, Academic Press.

[2] Prüfer, H. (1923). "Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen" . Matematik. Z . 17 (1): 35–61. doi : 10.1007/BF01504333 . Arkiverad från originalet 2007-09-27.

[3] Kulikoff, L. (1941). "Zur Theorie der Abelschen Gruppen von beliebiger Mächtigkeit" . Rec. Matematik. Moskva . NS 9 : 165–181. Arkiverad från originalet 2007-09-27.

[4] Kaplansky, Irving (1954). Oändliga Abeliska grupper . Michigans universitet. ISBN 0-472-08500-X .