Rayleigh–Plessets ekvation

Rayleigh–Plessets ekvation används ofta för att studera kavitationsbubblor , som här visas som bildar bakom en propeller.

Inom vätskemekanik är Rayleigh -Plesset-ekvationen eller Besant-Rayleigh-Plesset-ekvationen en vanlig differentialekvation som styr dynamiken hos en sfärisk bubbla i en oändlig kropp av inkompressibel vätska. Dess allmänna form skrivs vanligtvis som

$R{\frac {d ^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac { 4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\gamma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P( t)}{\rho _{L}}}=0$

var

$\rho _{L}$ är densiteten för den omgivande vätskan, antas vara konstant

$R(t)$ är radien för bubblan

$\nu _ {L}$ är den kinematiska viskositeten för den omgivande vätskan, antagen vara konstant

$\gamma$ är ytspänningen för bubbel-vätska-gränssnittet

${\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)} ,$ där $P_{B}(t)$ är trycket i bubblan, antas vara enhetligt och $P_{\infty }(t)$ är det yttre trycket oändligt långt från bubblan

Förutsatt att $P_{B}(t)$ är känd och $P_{\infty }(t)$ ges, kan Rayleigh–Plessets ekvation användas för att lösa för den tidsvarierande bubbelradien $R(t)$ .

Rayleigh-Plessets ekvation härleds från Navier-Stokes ekvationer under antagandet om sfärisk symmetri .

Historia

Om man försummar ytspänning och viskositet, härleddes ekvationen först av WH Besant i hans bok från 1859 med problemformuleringen som anges som En oändlig massa av homogen inkompressibel vätska som påverkas av inga krafter är i vila, och en sfärisk del av vätskan förintas plötsligt. ; det krävs att man hittar den momentana tryckförändringen vid vilken punkt som helst av massan, och tiden under vilken håligheten kommer att fyllas upp, varvid trycket på ett oändligt avstånd antas förbli konstant (i själva verket tillskriver Besant problemet till Cambridge Senat-husproblem från 1847). Genom att försumma tryckvariationerna inuti bubblan, förutspådde Besant att tiden som krävdes för att fylla håligheten skulle vara

${\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _ {0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0,91468a\left( {\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$

där integrationen utfördes av Lord Rayleigh 1917, som härledde ekvationen från energibalansen. Rayleigh insåg också att antagandet om konstant tryck inuti kaviteten skulle bli fel när radien minskar och han visar att med Boyles lag , om kavitetens radie minskar med en faktor $4^{1/3 }$ , då blir trycket nära kavitetens gräns större än det omgivande trycket. Ekvationen applicerades först på resande kavitationsbubblor av Milton S. Plesset 1949 genom att inkludera effekter av ytspänning.

Härledning

Numerisk integration av RP ekv. inklusive ytspänning och viskositetstermer. Inledningsvis i vila i atmosfärstryck med R0=50 um, bubblan som utsätts för oscillerande tryck vid sin naturliga frekvens genomgår expansion och kollapsar sedan.

Numerisk integration av RP ekv. inklusive ytspänning och viskositetstermer. Inledningsvis i vila i atmosfärstryck med R0=50 um, expanserar bubblan som utsätts för tryckfall och kollapsar sedan.

Rayleigh–Plessets ekvation kan härledas helt och hållet från de första principerna genom att använda bubbelradien som den dynamiska parametern. Betrakta en sfärisk bubbla med tidsberoende radie $R(t)$ , där $t$ är tid. Antag att bubblan innehåller en homogent fördelad ånga/gas med en enhetlig temperatur $T_{B}(t)$ och tryck $P_{B}(t)$ . Utanför bubblan finns en oändlig domän av vätska med konstant densitet $\rho _{L}$ och dynamisk viskositet $\mu _{L}$ . Låt temperaturen och trycket långt från bubblan vara $T_{\infty }$ och $P_{\infty }(t)$ . Temperaturen $T_{\infty }$ antas vara konstant. På ett radiellt avstånd $r$ från bubblans centrum är de varierande vätskeegenskaperna tryck $T(r,t)$$\displaystyle P(r,t)}$ , temperatur , och radiellt utåtgående hastighet $u(r,t)$ . Observera att dessa vätskeegenskaper endast definieras utanför bubblan, för $r\geq R(t)$ .

Masskonservering

Genom bevarande av massa kräver den omvända kvadratiska lagen att den radiellt utåtgående hastigheten $u(r,t)$ måste vara omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet från origo (mitten av bubbla). Därför låter man $F(t)$ vara någon funktion av tiden,

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}$

I fallet med noll masstransport över bubbelytan måste hastigheten vid gränsytan vara

$u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R ^{2}}}$

som ger det

$F(t)=R^{2}dR/dt$

I det fall där masstransport sker, ges hastigheten för massökningen inuti bubblan av

${\frac {dm_{V}}{ dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}= 4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

med $V$ som volymen på bubblan. Om $u_{L}$ är vätskans hastighet i förhållande till bubblan vid $r=R$ , så ges massan som kommer in i bubblan av

${\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}= \rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}$

där $A$ är bubblans yta. Nu genom bevarande av massan $dm_{v}/dt=dm_{L}/dt$ , därför $u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt$ . Därav

$u(R,t) ={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\ frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}$

Därför

$F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L} }}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}$

I många fall är vätskedensiteten mycket större än ångdensiteten, $\rho _{L}\gg \rho _{V}$ , så att $F( t)$ kan approximeras av den ursprungliga nollmassöverföringsformen $F(t)=R^{2}dR/dt$ , så att

$u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}= {\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}$

Momentum bevarande

Om vi ​​antar att vätskan är en newtonsk vätska , ger den inkompressibla Navier–Stokes-ekvationen i sfäriska koordinater för rörelse i radiell riktning

${ho {L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{ \partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2} {\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

Ersättning av kinematisk viskositet $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ och omarrangering ger

${\ufrar 2 -$

varvid ersätter $u(r,t)$ från masskonserveringsutbyten

$-{\frac {1}{\rho _{L}}} {\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+ {\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r ^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\ frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^ {4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}$

Observera att de trögflytande villkoren upphör under substitution. Att separera variabler och integrera från bubbelgränsen $r=R$ till $r\rightarrow \infty$ ger

$-{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _ {R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+ R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\höger)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\vänster({ \frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr$

${{\frac {P(R )-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\ höger)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4 }}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt ^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

Gränsförhållanden

Låt $\sigma _{rr}$ vara normalspänningen i vätskan som pekar radiellt utåt från bubblans mitt. I sfäriska koordinater, för en vätska med konstant densitet och konstant viskositet,

$\sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}$

Därför är nettokraften per ytenhet som verkar på laminatet vid någon liten del av bubbelytan

${\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\gamma }{R} }&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\ frac {2\gamma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{ 2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\gamma }{R}}\\ &=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\gamma }{R }}\\\end{aligned}}$

där $\gamma$ är ytspänningen . Om det inte finns någon massöverföring över gränsen måste denna kraft per ytenhet vara noll, därför

$P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{ \frac {dR}{dt}}-{\frac {2\gamma }{R}}$

och så blir resultatet från momentumbevarande

${\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{ L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\gamma }{\rho _ {L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt} }\right)^{2}$

varvid omarrangering och låtelse av $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ ger Rayleigh–Plessets ekvation

${ \frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}} +{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\ frac {dR}{dt}}+{\frac {2\gamma }{\rho _{L}R}}$

Genom att använda punktnotation för att representera derivator med avseende på tid, kan Rayleigh-Plessets ekvation skrivas mer kortfattat som

${\frac {P_{B}( t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}}) ^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\gamma }{\rho _{L}R}}$

Lösningar

På senare tid hittades analytiska lösningar i sluten form för Rayleigh-Plessets ekvation för både en tom och gasfylld bubbla och generaliserades till det N-dimensionella fallet. Fallet när ytspänningen är närvarande på grund av effekterna av kapilläritet studerades också.

För det speciella fallet där ytspänning och viskositet försummas är också analytiska approximationer av hög ordning kända.

I det statiska fallet förenklas Rayleigh–Plesset-ekvationen, vilket ger Young-Laplace-ekvationen :

$P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\gamma }{R}}$

När endast oändliga periodiska variationer i bubblans radie och tryck beaktas, ger RP-ekvationen också uttrycket för bubbeloscillationens naturliga frekvens .