Rabi cykel

Rabi-svängningar, som visar sannolikheten för ett tvånivåsystem initialt i $|1\rangle$ för att hamna i $|2\rangle$ vid olika avstämningar Δ.

Inom fysiken är Rabi -cykeln (eller Rabi-floppen ) det cykliska beteendet hos ett kvantsystem på två nivåer i närvaro av ett oscillerande drivfält. En stor variation av fysikaliska processer som hör till områdena kvantberäkning , kondenserad materia , atom- och molekylfysik och kärn- och partikelfysik kan enkelt studeras i termer av tvånivåers kvantmekaniska system , och uppvisar Rabi-floppning när de kopplas till en oscillerande körfält. Effekten är viktig inom kvantoptik , magnetisk resonans och kvantberäkning och är uppkallad efter Isidor Isaac Rabi .

Ett tvånivåsystem är ett som har två möjliga energinivåer. Dessa två nivåer är ett grundtillstånd med lägre energi och ett exciterat tillstånd med högre energi. Om energinivåerna inte är degenererade (dvs. inte har lika energier) kan systemet absorbera ett kvantum av energi och övergå från grundtillståndet till det "exciterade" tillståndet. När en atom (eller något annat tvånivåsystem ) belyses av en koherent stråle av fotoner , kommer den cykliskt att absorbera fotoner och återutsända dem genom stimulerad emission . En sådan cykel kallas en Rabi-cykel, och inversen av dess varaktighet är fotonstrålens Rabi-frekvens . Effekten kan modelleras med Jaynes-Cummings-modellen och Bloch-vektorformalismen .

Matematisk beskrivning

En detaljerad matematisk beskrivning av effekten finns på sidan för Rabiproblemet . Till exempel, för en tvåtillståndsatom (en atom i vilken en elektron antingen kan vara i exciterat eller grundtillstånd) i ett elektromagnetiskt fält med frekvensen avstämd till excitationsenergin, hittas sannolikheten för att hitta atomen i exciterat tillstånd från Blochs ekvationer att vara

$|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2),$

där $\omega$ är Rabi-frekvensen.

Mer generellt kan man överväga ett system där de två nivåerna i fråga inte är energiegentillstånd . Därför, om systemet initieras i en av dessa nivåer, kommer tidsutvecklingen att få populationen av var och en av nivåerna att svänga med någon karakteristisk frekvens, vars vinkelfrekvens också är känd som Rabi-frekvensen. Tillståndet för ett tvåtillståndskvantumsystem kan representeras som vektorer av ett tvådimensionellt komplext Hilbert-rum , vilket innebär att varje tillståndsvektor $|\psi \rangle$ representeras av komplexa koordinater:

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{ pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},$

där $c_{1}$ och $c_{2}$ är koordinaterna.

Om vektorerna är normaliserade är $c_{1}$ och $c_{2}$ relaterade med $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ . Basvektorerna kommer att representeras som $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ och $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ .

Alla observerbara fysiska storheter som är associerade med detta system är 2 × 2 hermitiska matriser , vilket betyder att systemets Hamiltonian också är en liknande matris.

Procedur

Man kan konstruera ett oscillationsexperiment genom följande steg:

1. Förbered systemet i ett fast tillstånd; till exempel $|1\rangle$
2. Låt staten utvecklas fritt, under ett Hamiltonskt H för tiden t
3. Hitta sannolikheten $P(t)$ , att tillståndet är i $|1\rangle$

Om $|1\rangle$ är ett egentillstånd av H, $P(t)=1$ och det blir inga svängningar. Även om de två tillstånden $|0\rangle$ och $|1\rangle$ är degenererade, alla tillstånd inklusive $|1\rangle$ är ett egentillstånd för H. Som ett resultat blir det inga svängningar.

Å andra sidan, om H inte har några degenererade egentillstånd, och det initiala tillståndet inte är ett egentillstånd, kommer det att bli svängningar. Den mest allmänna formen av Hamiltonian av ett tvåtillståndssystem ges

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{ 1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$

här är $a_{0},a_{1},a_{2}$ och $a_{3}$ reella tal. Denna matris kan delas upp som,

$\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{ 3}\cdot \sigma _{3};$

Matrisen $\sigma _{0}$ är 2 $\times$ 2 identitetsmatrisen och matriserna $\sigma _{k}\ ;(k=1,2,3)$ är Pauli-matriserna . Denna nedbrytning förenklar analysen av systemet, särskilt i det tidsoberoende fallet där värdena för $a_{0},a_{1},a_{2}$ och $a_{3}$ är konstanter. Betrakta fallet med en spin-1/2 -partikel i ett magnetfält $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ . Interaktionen Hamiltonian för detta system är

$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf { S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ , $S_{z}={\frac { \hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

där $\mu$ är storleken på partikelns magnetiska moment , $\gamma$ är det gyromagnetiska förhållandet och ${\boldsymbol {\sigma }}$ är vektorn för Pauli-matriser . Här är Hamiltonians egentillstånd egentillstånd för ${\displaystyle \sigma _{3}} ,$ det vill säga $|0\rangle$ och $|1\rangle$ , med motsvarande egenvärden för $E_{+}={\frac {\hbar }{2}} \gamma B\ ,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ . Sannolikheten att ett system i staten $|\psi \rangle$ kan hittas i det godtyckliga tillståndet $|\phi \rangle$ ges av ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$ .

Låt systemet förberedas i tillstånd $\left|+X\right\rangle$ vid tiden $t=0$ . Observera att $\left|+X\right\rangle$ är ett egentillstånd av $\sigma _{1}$ :

$|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{ \sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end {pmatrix}}.$

Här är Hamiltonian tidsoberoende. Sålunda genom att lösa den stationära Schrödinger-ekvationen, ges tillståndet efter tid t av

$$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left| \psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{ \tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle ,$$

med total energi för systemet $E$ . Så tillståndet efter tid t ges av:

$|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$ .

Antag nu att spinn mäts i x-riktning vid tidpunkten t. Sannolikheten att hitta spin-up ges av:

$${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\ langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac { -iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{ -}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t} {2}}\right),$$

där $\omega$ är en karakteristisk vinkelfrekvens som ges av $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{\hbar } }=\gamma B$ , där det har antagits att $E_{-}\leq E_{+}$ . Så i det här fallet är sannolikheten för att hitta spin-up i x-riktningen oscillerande i tiden $t$ när systemets spin initialt är i $\left|+X\right\rangle$ riktning. På liknande sätt, om vi mäter spinn i $\left|+Z\right\rangle$ -riktning, sannolikheten för att mäta spinn som ${\tfrac {\hbar }{2}}$ i systemet är ${\ displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ . I det degenererade fallet där $E_{+}=E_{-}$ är den karakteristiska frekvensen 0 och det finns ingen oscillation.

Lägg märke till att om ett system är i ett egentillstånd av en given Hamiltonian , förblir systemet i det tillståndet.

Detta gäller även för tidsberoende Hamiltonianer. Ta till exempel ${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$ ; om systemets initiala spinntillstånd är $\left|+Y\right\rangle$ , då är sannolikheten att en mätning av spinn i y-riktningen resulterar i $+{\tfrac {\hbar }{2} }$ vid tidpunkten $t$ är ${\textstil {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2} \,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$ .

Exempel på Rabi-oscillation mellan två tillstånd i en joniserad vätemolekyl.

En joniserad vätemolekyl består av två protoner $P_{1}$ och $P_{2}$ och en elektron. På grund av deras stora massor kan de två protonerna anses vara fixerade. Låt R vara avståndet mellan dem och $|1\rangle$ och $|2\rangle$ anger var elektronen är lokaliserad kring $P_{1}$ eller $P_{2}$ . Antag att elektronen vid en viss tidpunkt är lokaliserad kring proton $P_{1}$ . Enligt resultaten från föregående avsnitt vet vi att elektronen kommer att oscillera mellan de två protonerna med en frekvens som är lika med Bohr-frekvensen som är associerad med de två stationära tillstånden $|E_{+}\rangle$ och $|E_{-}\rangle$ av molekylen. Denna oscillation av elektronen mellan de två tillstånden motsvarar en oscillation av medelvärdet för molekylens elektriska dipolmoment. Så när molekylen inte är i ett stationärt tillstånd kan ett oscillerande elektriskt dipolmoment uppträda. Ett sådant oscillerande dipolmoment kan utbyta energi med en elektromagnetisk våg med samma frekvens. Följaktligen måste denna frekvens förekomma i absorptions- och emissionsspektrumet för den joniserade vätemolekylen.

Härledning med hjälp av icke-perturbativ procedur med hjälp av Pauli-matriserna

Betrakta en Hamiltonian av formen

$${\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+ \Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\ Delta \end{pmatrix}}.$$

Egenvärdena för denna matris ges av

$${\begin{aligned}\lambda _{+}&=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{ 2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}} }\\\lambda _{-}&=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2} }^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}},\end{aligned}}$$

där $\mathbf {W} =W_{1}+iW_{2}$ och ${\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^ {2}=WW^{*}$ , så vi kan ta $\mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{i\phi }$ .

Nu kan egenvektorer för $E_{+}$ hittas från ekvationen

$${\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$$

Så

$$b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}.$$

Genom att tillämpa normaliseringsvillkoret på egenvektorerna, ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1$ . Så

$${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\ vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta}^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1.$$

Låt $\sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2 }}}}$ och $\cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$ . Så $\tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}$ .

Så vi får ${\textstil {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{ \frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}$ . Det är ${\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right )$ , med identiteten ${\textstyle \tan({\tfrac {\theta }{2}})={\tfrac {1- \cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}$ .

Fasen för ${\textstyle a}$ relaterad till ${\textstyle b}$ bör vara ${\textstyle -\phi }$ .

Om du väljer att ${\textstyle a} ska vara verklig,$ ges egenvektorn för egenvärdet ${\displaystyle E_{+}} av$

$$\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{i\phi }\ sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right \rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .$$

är egenvektorn för egenenergi ${\textstyle E_{-}}$

$$\left|E_{-}\right\rangle =\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{i\phi } \cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .$$

Från dessa två ekvationer kan vi skriva

$${\begin{aligned}\left|0\right\rangle &=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle + \sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle \\\left|1\right\rangle &=e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac { \theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .\end{aligned}}$$

Anta att systemet startar i tillstånd $|0\rangle$ vid tidpunkten ${\textstyle t=0}$ ; det är,

$$\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left |E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .$$

För en tidsoberoende Hamiltonian, efter tid t , utvecklas staten som

$$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left( 0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_ {+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{ -}\right\rangle .$$

Om systemet är i ett av egentillstånden $|E_{+}\rangle$ eller ${\displaystyle |E_{-}\rangle } ,$ det kommer att förbli i samma tillstånd. Men för en tidsberoende Hamiltonian och ett allmänt initialtillstånd som visas ovan är tidsutvecklingen icke trivial. Den resulterande formeln för Rabi-oscillationen är giltig eftersom tillståndet för snurran kan ses i en referensram som roterar tillsammans med fältet.

Sannolikhetsamplituden för att hitta systemet vid tidpunkten t i tillståndet $|1\rangle$ ges av ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}} \right)\left(e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right)}$ .

Nu är sannolikheten att ett system i staten $|\psi (t)\rangle$ kommer att befinnas vara i tillståndet ${\textstyle |1\rangle }$ ges av

$${\begin{aligned }P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left ({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+} t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\ theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar } }-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\vänster (2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}$$

Detta kan förenklas till

$$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({ \frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{\Delta ^ {2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\ hbar }}\right)$$

 

 

 

 

()

Detta visar att det finns en ändlig sannolikhet att hitta systemet i tillstånd $|1\rangle$ när systemet ursprungligen är i tillståndet $|0\rangle$ . Sannolikheten är oscillerande med vinkelfrekvens ${\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}} ,$ vilket helt enkelt är systemets unika Bohr-frekvens och även kallad Rabi-frekvens . Formeln ( 1 ) är känd som Rabi -formeln. Nu efter tid t sannolikheten att systemet i tillstånd $|0\rangle$ ges av ${\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1 -\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)} , vilket$ är också oscillerande.

Dessa typer av svängningar av tvånivåsystem kallas Rabi-svängningar, som uppstår i många problem som Neutrino-oscillation , den joniserade vätemolekylen , Quantum computing , Ammoniakmaser , etc.

Inom kvantberäkning

Alla tvåtillståndskvantsystem kan användas för att modellera en qubit . Betrakta ett spin - ${\tfrac {1}{2}}$ system med magnetiskt moment ${\boldsymbol {\mu }}$ placerat i ett klassiskt magnetfält ${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left (\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$ . Låt $\gamma$ vara det gyromagnetiska förhållandet för systemet. Det magnetiska momentet är alltså ${\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}$ . Hamiltonian för detta system ges sedan av ${\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar } {2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)} där ω$ = $displaystyle \omega _{0} =\gamma B_{0}}$ och $\omega _{1}=\gamma B_{1}$ . Man kan hitta egenvärdena och egenvektorerna för denna Hamiltonian genom ovannämnda procedur. Låt nu qubiten vara i tillståndet $|0\rangle$ vid tidpunkten $t=0$ . Sedan, vid tidpunkten $t$ , är sannolikheten för att den ska hittas i tillstånd $|1\rangle$ ges av $P_{0\to 1}(t)=\left ({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)$ där $\Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}$ . Detta fenomen kallas Rabi-oscillation. Således oscillerar qubiten mellan $|0\rangle$ och $|1\rangle$ tillstånd. Den maximala amplituden för oscillation uppnås vid ${\displaystyle \omega =\omega _{0}} ,$ vilket är villkoret för resonans . Vid resonans ges övergångssannolikheten av $P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\ frac {\omega _{1}t}{2}}\right)$ . Att gå från staten $|0\rangle$ för att ange $|1\rangle$ det räcker att justera tiden $t$ under vilken det roterande fältet verkar så att ${\frac {\omega _{1 }t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$ eller $t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ . Detta kallas en $\pi$ -puls. Om en tid mellan 0 och ${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ väljs får vi en superposition av $|0\rangle$ och $|1\rangle$ . Speciellt för $t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}$ har vi en ${\frac {\pi }{2 }}$ puls, som fungerar som: $|0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}$ . Denna operation har avgörande betydelse vid kvantberäkning. Ekvationerna är väsentligen identiska i fallet med en tvånivåatom i fältet för en laser när den generellt sett väl tillfredsställda roterande vågapproximationen görs. Då $\hbar \omega _{0}$ energiskillnaden mellan de två atomnivåerna, $\omega$ är frekvensen för laservågen och Rabi-frekvensen $\omega _{ 1}$ är proportionell mot produkten av det elektriska övergångsdipolmomentet för atom ${\vec {d}}$ och det elektriska fältet ${\vec {E}}$ för laservågen som är $\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$ . Sammanfattningsvis är Rabi-svängningar den grundläggande processen som används för att manipulera qubits. Dessa svängningar erhålls genom att exponera qubits för periodiska elektriska eller magnetiska fält under lämpligt justerade tidsintervall.

Se även

• Atomisk koherens
• Bloch sfär
• Laserpumpning
• Optisk pumpning
• Rabi problem
• Vakuum Rabi oscillation
• Neutral partikeloscillation

•   Quantum Mechanics Volume 1 av C. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, ISBN 9780471164333
•   En kort introduktion till kvantinformation och kvantberäkning av Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567
• Feynman-föreläsningarna om fysik, volym III
•   Modern Approach To Quantum Mechanics av ​​John S Townsend, ISBN 9788130913148